Una coppia di cicli omotopici disgiunti nel doppio separa il grafico?

Sia un grafico incorporato su una superficie compatta orientabile del genere g in modo che l'incorporamento sia cellulare. Considera il doppio del grafico G ∗ . Siano C 1 e C 2 cicli congiunti in G ∗ che sono omotopici l'uno con l'altro e che E 1 ed E 2 siano i loro corrispondenti set di bordi in G rispettivamente. È G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) un grafo scollegato?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Sì. Lasciami scrivere per la superficie su cui sono incorporati G e G ∗ .$\Sigma$$G$$G^*$

Poiché i cicli e C 2 sono omotopici, appartengono anche alla stessa classe di omologia Z 2 . Quindi, per definizione, la differenza simmetrica C 1 ⊕ C 2 è il confine dell'unione di un sottoinsieme di facce di G ∗ ; chiamare questa unione di facce U . (In effetti, o U o il suo complemento Σ ∖ U deve essere un annulus, ma questo non è importante.)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

$\Sigma$