Decidibilità del labirinto frattale

Un labirinto frattale è un labirinto che contiene copie di se stesso. Ad esempio, il seguente di Mark JP Wolf di questo articolo :

Inizia dal MINUS e raggiungi il PLUS. Quando inserisci una copia più piccola del labirinto, assicurati di registrare il nome della lettera di quella copia, poiché dovrai lasciare questa copia all'uscita. Devi uscire da ogni copia nidificata del labirinto in cui sei entrato, lasciando nell'ordine inverso in cui li hai inseriti (ad esempio: inserisci A, inserisci B, inserisci C, uscita C, uscita B, uscita A). Pensalo come una serie di scatole nidificate. Se non esiste alcun percorso di uscita che lascia la copia nidificata, è stato raggiunto un vicolo cieco. Il colore è stato aggiunto per rendere più chiari i percorsi, ma è solo decorativo.

Se esiste una soluzione, breadth-first-search dovrebbe trovare una soluzione. Tuttavia, supponiamo che non ci sia soluzione al labirinto, quindi il nostro programma di ricerca funzionerebbe sempre più in profondità.

La mia domanda è: dato un labirinto frattale, come possiamo determinare se ha una soluzione o no?

O in alternativa, per un labirinto frattale di una determinata dimensione (numero di input / output per copia), c'è un limite sulla lunghezza della soluzione più breve? (se ci fosse un tale limite, potremmo cercare esaustivamente solo così in profondità)

Un rapido algoritmo informale per dimostrare che il problema è decidibile:

• supponiamo che ci siano Input / Output I 1 , . . . Io n ;$n$$I_1,...I_n$
• costruisci un grafico dove ogni I i , M I N U S e P L U S sono nodi, e sostituisci ogni labirinto nidificato M j con un sottografo K n (grafico completo); aggiungere i bordi tra I i , M I N U S , P L U S , M j I k secondo il labirinto; mantenere "esterno" M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ bordi distinti dai corrispondenti bordi "interni"Ii→IkdiMjcome un sottografo completo;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• enumera tutti i percorsi da MINUS a PLUS in (evitando cicli);$G$
• se trovi un percorso che non attraversa una copia nidificata, allora è una soluzione; altrimenti espandi ogni traversata "interna" dei labirinti nidificati di ogni percorso:$Mj$

Supponiamo che un percorso nella prima enumerazione sia , quindi il percorso è una soluzione valida se esiste un percorso da I i → I j e da I k → I h nel labirinto originale (grafico G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

Quindi dobbiamo ampliare la e B mi k → B I h attraversamenti enumerazione tutti i sentieri da ho io a che k e da I k a I h in G .$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

I loop infiniti vengono rilevati quando stiamo enumerando tutti i percorsi da a I k in un'espansione di un percorso che in una fase precedente già conteneva . . . → M I i → M I k → . . . per alcuni submaze M (ci sono solo n 2 possibili espansioni).$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

Una soluzione viene trovata se troviamo un'espansione del percorso che contiene solo input / output ; il labirinto non ha soluzione se non possiamo espandere ulteriormente i percorsi senza loop.$I_i$

Questa non è una "risposta" alla mia domanda, ma piuttosto un commento esteso che le persone qui potrebbero trovare interessanti.

Sostengo che esiste una definizione di "tipo di analisi" naturale di un labirinto e una soluzione, che differisce dalla definizione di informatica / teoria dei grafi che abbiamo usato qui. In particolare, puoi avere un labirinto frattale che ha una "soluzione" sotto la definizione dell'analisi, ma sarebbe dichiarato irrisolvibile dall'algoritmo di Marizio De Biasi e dalla tecnica degli automi pushdown di Peter Shor.

$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

Consideriamo ora la curva di Hilbert :

Si potrebbe interpretare questa curva come un "labirinto frattale" con il seguente diagramma:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Ora potresti sostenere che questo non è nello spirito dei labirinti frattali poiché la curva di Hilbert riempie l'intero quadrato e quindi potresti semplicemente tracciare un segmento di linea retta dall'inizio alla fine. Questa obiezione può essere facilmente ignorata, basta semplicemente usare direttamente il diagramma della curva di Hilbert, come mostrato qui:

Anche questo contiene una sequenza di percorsi continui uniformemente convergenti che vanno dall'inizio alla fine, con lo stesso argomento usato per mostrare la convergenza uniforme della curva di Hilbert. Tuttavia è un vero "labirinto frattale", nel senso che non riempie l'intero spazio.

Quindi abbiamo un labirinto frattale che è risolvibile dalla definizione analitica, ma irrisolvibile dalla definizione teorica del grafico ..!?

Comunque, sono abbastanza sicuro che la mia logica sia corretta, ma sembra controintuitivo, quindi se qualcuno può far luce su questo, lo apprezzerei.