Come calcolare i poteri delle matrici quadrate?

Supponiamo che ci venga data una matrice e che . Quanto velocemente possiamo calcolare la potenza di quella matrice? $A \in \mathbb R^{N\times N}$ $m \in \mathbb N_0$ $A^m$

La prossima cosa migliore rispetto al calcolo di -products è utilizzare l'esponentazione rapida, che richiede prodotti con matrice . $m$ $\mathcal O(\log m )$

Per matrici diagonali, è possibile utilizzare la decomposizione degli autovalori. La sua generalizzazione naturale, la decomposizione della Giordania, è instabile sotto pertubazione e quindi non conta (afaik).

L'esponenziazione di matrici nel caso generale può essere accelerata?

Un'esponente rapida suggerisce anche una variazione di questa domanda:

Il quadrato di una matrice generale essere calcolato più velocemente rispetto agli algoritmi di moltiplicazione della matrice noti? $A$

ds.algorithms matrices na.numerical-analysis

— shuhalo
fonte

Se ti preoccupi della stabilità in caso di perturbazioni, neanche l'espiazione rapida non sembra sicura.

— MCH

Bene, presumo che non sia meno sicuro della ripetuta moltiplicazione, che è sicura quanto l'esponenza scalare, non è vero?

— shuhalo,

$A^m$ $O(\log m)$ $N \times N$ $A$ $B$ $2n \times 2n$ $C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

$C$ $n \times n$ $C^2$ $A\cdot B$

— Ryan Williams
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Di recente avevo fatto una domanda

A^{m}

$A^m$

O (n)

$\mathcal O(n)$

O (M (n) \log (n))

$\mathcal O(M(n)\log(n))$

Ω (M (n))

$\mathcal \Omega (M(n))$