Calcolo quantistico - Postulati di QM

Ho appena iniziato a studiare (indipendentemente) il calcolo quantistico in generale dal libro Nielsen-Chuang.

Volevo chiedere se qualcuno potesse provare a trovare il tempo per aiutarmi con quello che sta succedendo con il postulato di misurazione della meccanica quantistica. Voglio dire, non sto cercando di mettere in discussione il postulato; è solo che non riesco a capire come il valore dello stato del sistema dopo la misurazione sia di .$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

Anche se è proprio quello che sembra dire il postulato, trovo davvero imbarazzante che sia questa espressione. Non so se ciò che chiedo qui abbia senso, ma questo si sta dimostrando qualcosa che per qualche ragione sembra impedirmi di leggere oltre,

Non so se questa sia una "spiegazione", ma spero che sia una "descrizione" utile.

Più in generale delle misurazioni proiettive, si misura sempre un operatore . (Un proiettore ne è un caso speciale.) Quindi cosa significa "misurare un operatore"?

Bene, gli operatori spesso corrispondono a quantità fisiche "osservabili". Il più importante nella meccanica quantistica, ad esempio, è l'energia; ma si possono anche (talvolta indirettamente) misurare altre quantità, come il momento angolare, i componenti z di campi magnetici, ecc. Ciò che viene misurato dà sempre risultati a valore reale --- in linea di principio, un risultato definito (ad es. un elettrone è nello stato 'di spin +1/2' al contrario di 'rotazione -1/2', o nel primo livello energetico eccitato in contrapposizione al stato fondamentale in un atomo di idrogeno, ecc), anche se ogni possibile a priori risultato è realizzato con una certa probabilità.

Assegniamo ciascuno dei risultati con valore reale di una misurazione a un sottospazio. Il modo in cui lo facciamo è descrivere un operatore eremitico, cioè un operatore che associa un vero autovalore a diversi sottospazi, con i sottospazi che si sommano all'intero spazio di Hilbert. Un proiettore è un tale operatore, dove i valori reali sono 0 e 1; vale a dire che descrive che un vettore appartiene a un sottospazio designato (che produce un valore di 1), o al suo orto-complemento (che produce un valore di 0). Questi operatori eremiti sono osservabili e gli eigenspace sono quelli per i quali l'osservabile ha un valore "definito".

Ma che dire di quei vettori che non sono autovettori e che non hanno valori "definiti" per questi osservabili? Ecco la parte non esplicativa della descrizione: li proiettiamo in uno degli eigenspace, per ottenere un autovettore con un valore ben definito. La proiezione che applichiamo viene determinata casualmente. La distribuzione di probabilità è data dalla familiare regola Born:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

dove è il proiettore sullo spazio c di una "quantità osservabile" E (rappresentato da un operatore ). Lo stato post-misurato è un po ' la proiezione dello stato su alcuni autospazio del osservabile A . E così se è lo stato di pre-misurazione, è lo stato post-misura e è il 'risultato effettivo' misurato ( ovvero lo spazio di misura su cui è stato effettivamente proiettato lo stato di pre-misura), abbiamo il risultato di proporzionalità$\Pi_c$$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

dalla regola di proiezione appena descritta. Questo è il motivo per cui c'è il proiettore nella tua formula.

In generale, il vettore non è un vettore unitario; poiché desideriamo descrivere lo stato post-misura con un altro vettore unitario, dobbiamo ridimensionarlo$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

che è la radice quadrata della probabilità con cui il risultato si verificherebbe a priori . Quindi recuperiamo la formula nella tua domanda,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Se questa formula sembra leggermente goffa, tieni a mente che sembra e si sente un po 'meglio se rappresenti gli stati quantici da parte degli operatori di densità.)

Modificato per aggiungere: quanto sopra non deve essere interpretato come una descrizione di POVM. Un "operatore positive stimate misura" è meglio visto come descrivere il valore di attesa di vari misurabile osservabili E _c in una collezione {  E _c  } _{c  ∈ C}  .

Offrirò un'altra risposta alla domanda di Akash Kumar, che è che (specialmente per gli studenti) un buon approccio per affrontare i misteri della meccanica quantistica è prima di tutto confrontarsi con i misteri della meccanica classica.

A questo proposito, un manuale di partenza consigliato (che è disponibile in brossura) è "Symmetry in Mechanics: a Gentle Modern Introduction" di Stephanie Frank Singer ... che ha il vantaggio di essere breve e chiaro (compresi 120 problemi esplicitamente elaborati) e tuttavia abbraccia con fiducia le principali idee moderne di geometria simplettica e teoria dei gruppi di Lie.

Qui il punto è che all'inizio del XX secolo, la meccanica quantistica e la meccanica classica sembravano due teorie della dinamica molto diverse. Ma se prendiamo sul serio la massima di Vladimir Arnold secondo cui "la meccanica hamiltoniana è la geometria nello spazio delle fasi; lo spazio delle fasi ha la struttura di una varietà simplettica" e prendiamo sul serio anche la massima di Ashtekar / Schilling che "la struttura lineare che è in prima linea in i trattamenti dei libri di testo della meccanica quantistica sono, in primo luogo, solo una convenienza tecnica e gli ingredienti essenziali --- la varietà di stati, la struttura simplettica e la metrica riemanniana --- non condividono questa linearità ", quindi arriviamo a un migliore apprezzamento del fatto che la tesi di Troy Schilling del 1996 poggia su una solida base matematica nel sostenere che "

Questo approccio geometrico unificato alla dinamica classica / quantistica riesce principalmente facendo sembrare più misteriosa la meccanica classica e la meccanica quantistica sembra meno misteriosa ... ed è bene che gli studenti sappiano che si tratta di uno (di molti) approcci praticabili per l'apprendimento di entrambi i tipi di meccanica.

Se non li hai già visti, consiglio vivamente le note di Scott Aaronson "Quantum Computing Since Democritus" , in particolare la lezione 9 . Mi hanno davvero aiutato come non esperto e ho cercato di distillare la sua presentazione ai punti principali qui e qui .

Per quanto riguarda la tua specifica domanda, penso che aiuti a creare intuizione se puoi calcolare alcuni semplici esempi usando la Regola nata e vedere come funziona il postulato di misurazione.

Ho trovato più facile pensare a "La probabilità di misurare il suo esito è il quadrato dell'ampiezza del suo elemento del vettore di stato - se fai un cambio di base agli autovettori dell'Operatore".

Ciò si lega anche perfettamente all'intuizione che la meccanica quantistica è probabilità con numeri complessi - poiché i quadrati delle ampiezze devono riassumere fino a 1.

Fintanto che studi il calcolo quantistico potresti anche voler dare un'occhiata a questa discussione sull'algoritmo di Shor .

Addendum.

Dopo aver riconsiderato la forma della tua domanda ( ad es. La M ^† M nel denominatore --- al contrario ad esempio di un singolo operatore M, che è sufficiente per i proiettori) e di aver riconsiderato la mia copia di Nielsen e Chaung, ecco alcuni dettagli supplementari non coperto dalla mia risposta precedente. (Sto pubblicando questa come una risposta separata a causa della lunghezza e perché ritengo che questa sia una "spiegazione" anche meno della mia risposta precedente.)

Supponiamo che il nostro unico mezzo di misurare un qubit X è indiretta: da un'interazione 'debole' con un'ancilla A , seguita da una misurazione su A . Vorremmo essere in grado di parlare di questi come essere in un certo senso un modo per misurare X . Come potremmo descrivere una tale misura solo in termini di X ? Bene: supponiamo di poter facilmente preparare A nello stato iniziale , ed eseguire un unitario controllato del seguente tipo, con X come controllo e A come bersaglio:$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Quindi misuriamo A in base standard (in modo che A ora memorizzi il risultato della misurazione). Questo trasforma lo stato di X come segue:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

Nelle equazioni precedenti, nota che se il risultato della misurazione è c , lo stato finale di X è proporzionale a , dove definiamo$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

e possiamo verificare che le probabilità con cui otteniamo i risultati della misurazione siano in ogni caso .$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Questo è molto vicino alla descrizione della trasformazione di X nello stesso modo in cui descriviamo le misure proiettive. Ma si tratta di una sorta di misurazione, parlando in modo significativo? Bene: se possiamo fare statistiche sui risultati di più iterazioni di questa procedura, e se X è inizialmente nella base standard, noteremmo che c'è un pregiudizio quando otteniamo il risultato '0': lo otteniamo più spesso quando X è inizialmente nello stato . Se possiamo campionare abbastanza volte per distinguere se i risultati della misurazione sono distribuiti più come o , possiamo determinare con alta probabilità se il qubit è inizialmente nello stato$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$ o lo stato .$|1\rangle$

La somiglianza delle formule di probabilità e aggiornamento a quelle della misurazione proiettiva e il fatto che possiamo usare le statistiche di misurazione per ottenere informazioni sullo stato misurato, motiva una generalizzazione della nozione di "misurazione" per includere procedure come quella sopra: possiamo descrivere i possibili risultati della misurazione con uno, due o più operatori (che sono in realtà "operatori Kraus", oggetti associati a mappe CPTP), con risultati descritti da una regola Born leggermente generalizzata$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

dove è un operatore Kraus associato alla tua misurazione e con una regola di aggiornamento fornita da$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

Affinché le probabilità da conservare (in modo che con certezza almeno uno dei risultati di misura avviene), si richiede . Questa è la forma più generale nella tua domanda, descritta da Nielsen e Chaung. (Ancora una volta, sembra leggermente meglio quando descrivono gli stati da parte degli operatori di densità.)$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Revisione generale.

In generale, ogni volta che introduciamo un ancilla (o una raccolta di ancillas) A , interagiamo con un qubit (o registro di diversi qubit) X unitamente con A , e quindi eseguiamo una misurazione proiettiva su A , questo dà origine a una sorta di misurazione di X ; gli operatori di misura possono quindi essere descritti da alcune raccolte di operatori semidefiniti positivi tali che (di nuovo in modo che la probabilità sia conservata).$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Le misurazioni più generali e più deboli descritte qui sono più strettamente correlate ai POVM, che consentono di descrivere facilmente le probabilità di misurazione 'in modo astratto', senza una scelta esplicita delle trasformazioni , fornendo agli operatori e permettendoti di utilizzare questi nella regola Born per calcolare le probabilità. Come ho accennato sia sopra sia nella mia precedente risposta, i POVM possono essere considerati descrivendo informazioni statisticamente disponibili su un sistema.$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Pensare alle misurazioni in termini di operatori Kraus (e in termini di un "registro dei risultati delle misurazioni" A come sopra) in questo modo consente di riassumere la nozione di misurazione in quella di una mappa CPTP, che è un'idea che mi diverte. (Tuttavia, questo non cambia davvero le cose da un punto di vista analitico e non è qualcosa di cui dovresti preoccuparti se non ti senti ancora a tuo agio con le mappe CPTP).

La risposta di Niel de Beaudrap riguardante gli operatori Kraus è stata molto buona. Per quanto riguarda il libro di testo di Nielsen e Chuang, ciò significa che si dovrebbe leggere il capitolo 2, quindi il capitolo 8 e quindi i capitoli successivi.

Inoltre, la rappresentazione dell'operatore Kraus ha un limite infinitesimale chiamato operatore Lindbladian; in linea generale, gli operatori di Lindbladian sono per gli operatori di Kraus ciò che una algebra di Lie è per un gruppo di Lie. Le note online di Carlton Caves "Mappe completamente positive, mappe positive e forma di Lindblad" coprono gran parte di questo materiale.

Il vantaggio di lavorare esclusivamente con operatori Lindbladiani infinitesimali invece di operatori Kraus è che i Lindbladiani si ritirano naturalmente in spazi quantici non Hilbert; questi includono gli spazi degli stati della rete tensoriale che stanno diventando onnipresenti nella chimica quantistica e nella fisica della materia condensata; inoltre le tecniche di pullback sono onnipresenti anche nella teoria delle stringhe.

Al momento non esiste un libro di testo che sviluppi questa descrizione geometrica e non Hilbert della dinamica quantistica ... ma ci dovrebbe essere! Libri di testo che (con i riferimenti sopra riportati) in copertina aggregata coprono le idee principali sono John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel e Smit "Capire la simulazione molecolare: dagli algoritmi alle applicazioni", e Kloeden e Platen "Soluzione numerica delle equazioni differenziali stocastiche".

È vero che si tratta di molte letture ... ed è per questo che la dinamica quantistica geometrica non viene insegnata a livello universitario. Questo è un peccato, perché è troppo facile per gli studenti universitari acquisire l'idea fissa che lo spazio degli stati dei sistemi dinamici quantistici sia uno spazio vettoriale lineare, anche se ciò non è vero nella maggior parte dei calcoli pratici su larga scala.

Per quanto riguarda lo spazio-stato che la Natura usa: nessuno lo sa: l'evidenza sperimentale per la linearità quantistica locale (spazio tangente) è abbastanza forte, ma l'evidenza per la linearità quantistica globale (spazio di Hilbert) è abbastanza debole. In particolare, esperimenti dinamici quantici a fascio molecolare ad alta precisione - che molti libri di testo sostengono come prova della linearità quantistica - possono essere simulati con la precisione relativa richiesta di ~ 1/2 ^ {65} su spazi di stato della rete tensoriale di bassa dimensione, con una semplicità dinamica quasi perfetta che sostituisce la linearità dinamica quasi perfetta.

Per i motivi di cui sopra, forse gli studenti del 21 ° secolo non dovrebbero accettare interamente i libri di testo del 20 ° secolo. Ma davvero, quale studente del 21 ° secolo lo vorrebbe in altro modo?

Quanto sopra è come gli ingegneri dei sistemi quantistici sono arrivati ​​ad abbracciare un set di strumenti matematici che fonde la naturalezza geometrica e algebrica e si applicano generalmente ai sistemi dinamici classici, quantistici e ibridi.

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Modifica aggiunta: come test della fattibilità di un approccio geometrico alla simulazione quantistica pratica, il nostro gruppo Quantum Systems Engineering (QSE) ha integrato il classico libro di testo di Charlie Slichter Principi di risonanza magnetica con una versione migliorata del capitolo 3 " Ampliamento dipolare magnetico e trasporto di polarizzazione in Grate rigide ".

Questa trascrizione geometrica punta naturalmente a molteplici domande aperte nella dinamica geometrica; vedi ad esempio la domanda di MathOverflow " Nelle simulazioni dinamiche quantistiche, qual è l'analogo simmetrico (riemanniano) di una parentesi di Poisson? "

Innanzitutto, perché gli osservabili sono rappresentati dagli operatori? Nella meccanica classica un osservabile è una funzione di valore reale nello spazio delle fasi. Estrae informazioni su valori come l'energia o la quantità di moto dal sistema, ma non influenza o interferisce con esso. Se l'osservatore fa parte del sistema, la misurazione è un processo fisico e può cambiare l'evoluzione del sistema. Perché l'evoluzione temporale non infinitesimale sia unitaria (cioè preservare la probabilità totale), l'evoluzione temporale infinitesimale deve essere eremitica. Questo è il teorema di Stone; spiega perché gli operatori della meccanica quantistica sono eremiti.

Se ciò ha senso, la formula segue da due cose:$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$ descrive l'evoluzione temporale infinitesimale del processo di misurazione per l'osservabile. Il successore di è e per dualità il successore di è .$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• La norma è la probabilità totale dello stato. Combinato con il punto precedente, questo mostra che la probabilità totale del successore è . La divisione per radice quadrata normalizza lo stato.$\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Bene, fornirò alcuni riferimenti aggiuntivi rilevanti per la domanda di Akash Kumar sui postulati quantistici, al fine di incoraggiare gli studenti ad apprendere la matematica di cui hanno bisogno per apprezzare i molti quadri ben sviluppati per studiare sia la dinamica classica che quella quantistica.

Cominciamo da dove termina il testo di Nielsen-Chuang, in particolare con "Teorema: libertà unitaria nella rappresentazione della somma degli operatori" (Sezione 8.2 di Nielsen-Chuang). Il testo di Nielsen e Chuang osserva che un'applicazione pratica di questo teorema è arrivata nella teoria della correzione dell'errore quantistico, dove è stato "cruciale per una buona comprensione della correzione dell'errore quantistico". Ma poi il testo Nielsen-Chuang tace.

Le risposte fornite (finora) qui su Stack Exchange non sono di grande aiuto per comprendere questa "libertà unitaria" ... che a quanto pare è fondamentale per tutti gli aspetti della meccanica quantistica associati a ciò che Einstein e Bohr chiamavano "spukhafte Fernwirkungen" (azione spettrale a distanza) della meccanica quantistica. In particolare, questa libertà unitaria è la chiave per la lettura quantistica, la correzione dell'errore quantistico e la crittografia quantistica, tre dei motivi principali per cui gli studenti TCS studiano la dinamica quantistica.

Per saperne di più, cosa dovrebbe leggere lo studente? Ci sono molte opzioni (e altre potrebbero avere le loro preferenze), ma raccomanderò i "Metodi statistici nell'ottica quantistica: campi non classici" di Howard Carmichael, in particolare il capitolo 17-19, intitolato "Traiettorie quantistiche I- III".

In questi tre capitoli, il testo di Carmichael motiva fisicamente ciò che il testo Nielsen-Chuang codifica come postulati e teoremi formali, vale a dire la nostra libertà di "svelare" misure proiettive (anche misure non proiettive) in vari modi. Fisicamente questa libertà assicura che viviamo in un universo causalmente separabile, matematicamente questa libertà è la base di tutta la crittografia quantistica e la correzione degli errori.

AFACIT, fu lo stesso Carmichael che nel 1993 inventò il termine ormai disordinato "dipanarsi" per descrivere questa invarianza informatica. Da allora la letteratura disordinata è cresciuta immensamente: una ricerca a tutto testo del server arxiv per "quantistica" e "svelamento" trova 762 manoscritti; la variante ortografica "svelare" trova altri 612 manoscritti (possibilmente con alcuni duplicati).

Naturalmente, apprendere il set di strumenti matematici e le idee fisiche associate allo svelamento quantico è molto impegnativo. È ragionevole chiedere, quali benefici possono ragionevolmente aspettarsi gli studenti, per ripagare questo duro lavoro? In risposta, ecco una parabola di un paragrafo, la cui principale virtù è che è immensamente più breve della lettura di due testi quantistici molto lunghi e difficili (Nielsen-Chuang e Carmichael).

Una volta, una studentessa di geometria euclidea di nome Alice si chiese "Come funziona davvero la misurazione della lunghezza euclidea?" I postulati euclidei rispondevano alla domanda di Alice nel modo seguente: "Tutte le misurazioni della lunghezza fisica sono equivalenti alle misurazioni effettuate da una bussola, il cui modello matematico è un segmento della linea numerica". Eppure, con un immenso sforzo di immaginazione creativa, Alice ha concepito una risposta equivalente ma più generale: "Tutte le misurazioni della lunghezza fisica sono equivalenti alle integrazioni delle velocità lungo le traiettorie, il cui modello matematico è curve su varietà che sono dotate di forme simplettiche e metriche e potenziali dinamici ". La struttura non euclidea di Alice per le dinamiche classiche era molto impegnativa da imparare, ma si apriva ai suoi nuovi mondi di scienza, tecnologia,

Per rendere esplicito il punto della parabola, Alice ha abbracciato una descrizione differenziale delle dinamiche classiche, liberandosi così dai rigidi vincoli dello spazio euclideo. Allo stesso modo, gli studenti quantistici di oggi hanno la possibilità di abbracciare una descrizione differenziale delle dinamiche che si svelano, liberando così i rigidi vincoli dello spazio di Hilbert.

Come per le dinamiche classiche non euclidee, la dinamica quantistica non-Hilbert richiede molto lavoro da imparare --- al momento non esiste un unico libro di testo che copra tutto il materiale richiesto --- eppure questi nuovi non-Euclide / non-Hilbert quadri dinamici stanno aprendo vasti nuovi mondi per l'esplorazione. Queste esplorazioni si estendono dai misteri della teoria delle stringhe alle aspre sfide della scrittura di codici di simulazione quantistica efficienti e validati in chimica e scienza dei materiali. È chiaro che la ricerca in una di queste aree richiede già agli studenti sia un apprezzamento più profondo di Euclide della dinamica classica, sia un apprezzamento più profondo di Hilbert della dinamica quantistica.

Questo è il motivo per cui le sfide matematiche e le opportunità di ricerca associate alle dinamiche sia classiche che quantiche non sono mai state così grandi come oggi. Che è buono!