Varianti dei teoremi del prodotto diretto

Un teorema del prodotto diretto, informalmente, afferma che calcolare istanze di una funzione f è più difficile che calcolare f una volta.$k$$f$$f$

I teoremi tipici del prodotto diretto (ad es. XOR Lemma di Yao) esaminano la complessità del caso medio e sostengono (molto approssimativamente) che non può essere calcolato da circuiti di dimensione s con probabilità migliore di p , quindi k copie di f non possono essere calcolate da circuiti di dimensione s ′ < s con probabilità migliore di p k .$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Sto cercando diversi tipi di teoremi del prodotto diretto (se noti). In particolare:

(1) Diciamo che fissiamo la probabilità di errore e siamo invece interessati alla dimensione del circuito necessaria per calcolare k copie di f ? C'è un risultato che dice che se f non può essere calcolato da circuiti di dimensione s con probabilità migliore di p , allora k copie di f non possono essere calcolate con probabilità migliore di p usando un circuito di dimensione inferiore a O ( k ⋅ s ) ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Cosa si sa riguardo alla complessità del caso peggiore ? Ad esempio, se non può essere calcolato (con errore 0) da circuiti di dimensione s , cosa possiamo dire della complessità del calcolo di k copie di f (con errore 0)?$f$$s$$k$$f$

Eventuali riferimenti sarebbero apprezzati.

$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$usando un algoritmo di moltiplicazione di matrici. Puoi trovare una discussione approfondita di questo argomento nel libro "La complessità delle funzioni booleane" di Ingo Wegener - vedi il capitolo 10.2 qui: http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Solo per integrare la risposta di Or, sono state studiate le domande sul sapore di (1) [quanta risorsa è necessaria per fare bene su k copie], e i teoremi corrispondenti sono chiamati "teoremi di somma diretta". Come per i teoremi del prodotto diretto, i teoremi della somma diretta possono o meno essere validi, a seconda della configurazione.