L'omomorfismo del grafico decisivo è in generale NP-completo.
Ci sono risultati che studiano questo problema quando i grafici sottostanti hanno una struttura algebrica (come decidere omomorfismi dai grafici coset di Cayley o Cayley ad altri grafici con una struttura definita pure)? Oltre ai risultati di complessità, sono anche interessato a utili tecniche algebriche e / o spettrali.
Risposte:
Se è una classe di grafici con larghezza dell'albero limitata, allora il problema dell'omomorfismo dai grafici in G è risolvibile nel tempo polinomiale. Questo può essere generalizzato alla proprietà più generale di "grafici il cui nucleo ha limitato la larghezza degli alberi".
Grohe dimostra un contrario: se i nuclei dei grafici in hanno una larghezza degli alberi illimitata, allora il problema dell'omomorfismo di G non è risolvibile nel tempo polinomiale (supponendo che F P T ≠ W [ 1 ] ). Pertanto, se si limita il grafico a sinistra ai grafici di Cayley ecc., Ciò che conta è se i nuclei hanno limitato la larghezza degli alberi.
http://dl.acm.org/authorize?951212
Nota che questo non risponde completamente alla tua domanda: nel risultato di Grohe, si presume che il grafico a destra sia arbitrario. Sembra che tu sia interessato ai risultati in cui il grafico a destra è limitato anche ad una specifica classe di grafici.
Decidere se esiste un omomorfismo grafico è più semplice che contare il numero di omomorfismi (ponderati) del grafico.
Per i grafici target non indirizzati (ovvero il numero di omomorfismi del grafico ponderato da un grafico di input da G a H ), esiste un teorema di dicotomia.
Jin-Yi Cai, Xi Chen, Pinyan Lu. Omomorfismi grafici con valori complessi: un teorema di dicotomia .
Il caso non ponderato è molto più semplice. Di seguito, dichiaro Teorema 1.1 dal seguente documento.
Martin Dyer, Catherine Greehill. La complessità del conteggio degli omomorfismi dei grafi . (Anche questo link diretto a un PDF gratuito.)