Perfezioni dell'approssimazione di coppia per l'analisi della rete

Quando si considerano le interazioni sulle reti, di solito è molto difficile calcolare analiticamente la dinamica e vengono utilizzate approssimazioni. Le approssimazioni del campo medio di solito finiscono per ignorare completamente la struttura della rete, e quindi raramente sono una buona approssimazione. Un'approssimazione popolare è l'approssimazione di coppia, che considera le correlazioni inerenti tra nodi adiacenti (intuitivamente possiamo considerarlo come un tipo di approssimazione del campo medio sui bordi).

L'approssimazione è esatta se stiamo prendendo in considerazione i grafici di Cayley, e molto bene se stiamo osservando i grafici casuali -regolari. In pratica fornisce anche buone approssimazioni per i casi in cui abbiamo un grafico casuale con grado medio e una stretta distribuzione del grado attorno a . Sfortunatamente, molte reti e interazioni che sono di interesse non sono ben modellate da questo tipo di grafici. Di solito sono ben modellati da grafici con distribuzioni di gradi molto diverse (come reti prive di scala, ad esempio), con coefficienti di clustering specifici (e elevati) o distanza media del percorso più breve (per ulteriori informazioni, vedere Albert & Barabasi 2001 ) .$k$$k$$k$

Esistono perfezionamenti dell'approssimazione di coppia che funzionano bene per questi tipi di reti? Oppure ci sono altre approssimazioni analitiche disponibili?

Un esempio di interazioni su reti

Ho pensato di dare un esempio di cosa intendo per interazioni su reti. Includerò un esempio relativamente generale della teoria dei giochi evolutiva.

Puoi pensare a ciascun nodo come a un agente (di solito rappresentato solo da una strategia), che gioca un gioco fisso in coppia con l'altro agente a cui ha un vantaggio. Pertanto, una determinata rete con una certa assegnazione di strategia a ciascun nodo produce un payoff per ciascun nodo. Quindi utilizziamo questi payoff e la struttura della rete per determinare la distribuzione delle strategie tra i nodi per la successiva iterazione (un esempio comune potrebbe essere che ciascun agente copi il vicino con il payoff più alto o una variante probabilistica di questo). Le domande a cui siamo solitamente interessati corrispondono alla conoscenza del numero di agenti di ciascuna strategia e di come ciò cambi gli straordinari. Spesso abbiamo una distribuzione stabile (che poi vorremmo sapere, o approssimativa) o talvolta cicli limite o anche bestie più esotiche.

Se facciamo un'approssimazione del campo medio su questo tipo di modello, utilizziamo l' equazione del replicatore come la nostra dinamica, che ignora palesemente la struttura della rete ed è accurata solo per i grafici completi. Se usiamo l'approssimazione di coppia (come Ohtsuki & Nowak 2006 ) avremo dinamiche leggermente diverse (sarà in realtà una dinamica di replicatore con una matrice di payoff modificata, in cui la modifica dipende dal grado del grafico e dalle specifiche del passaggio di aggiornamento) che corrisponde bene alla simulazione per grafici casuali, ma non per altre reti di interesse.

Per un esempio più fisico: sostituisci gli agenti con spin e chiama la matrice di payoff un'interazione hamiltoniana, quindi raffredda il tuo sistema mentre esegui periodiche misurazioni casuali.

Note e domande correlate

• Le generalizzazioni semplici dell'approssimazione di coppia del tipo che considerano un tipo di approssimazione del campo medio su triple o quadruple di nodi) sono ingombranti e non tengono ancora conto di distribuzioni di gradi molto diverse o distanza media del percorso più breve.

• Fonti per la teoria dei giochi evolutiva algoritmica

In generale, potresti essere interessato ai metodi spettrali nella teoria dei grafi, poiché sono uno strumento potente. È possibile analizzare gli autovalori della matrice di adiacenza del grafico (o della matrice laplaciana del grafico ).

Tali metodi non tengono conto solo delle proprietà locali del grafico (ad es. Distribuzione dei gradi) ma anche globale (ad es. Connettività, presenza o assenza di scorciatoie). In particolare, lo spettro è direttamente correlato al numero di coppie, triangoli e al percorso più breve (vedere il secondo riferimento).

Come riferimento (li ho solo sfogliati, ma sembrano utili):

• S. Boccaletti et al. (Phys Rep 2006), Reti complesse: struttura e dinamica (o qui )
• K.-I. Goh et at. (PRE 2001), spettri ed autovettori di reti senza scala, arXiv: cond-mat / 0103337

Il modo in cui formuli la tua domanda fa sembrare che ti interessi alle dinamiche, ma poiché ciò che stai cercando sembra essere una soluzione di stato stabile, gli stati fondamentali sembrano un percorso molto più produttivo da percorrere.

Dal momento che si desidera andare oltre l'approssimazione a coppie, la tecnica candidata più naturale sembra essere lo stato dei prodotti a matrice , che al momento è un argomento piuttosto accattivante per affrontare gli stati di base quantistici. Il modo in cui funziona questo approccio è fondamentalmente introducendo coppie intrecciate al massimo tra i nodi e in ciascun nodo introducendo un proiettore. Aggiungendo sistemi di dimensioni più elevate acquisirai più funzioni del grafico. So che il tuo problema probabilmente non è quantico, ma non vedo perché questa tecnica non dovrebbe ancora funzionare. Dovresti essere in grado di sostituire semplicemente gli stati intrecciati con$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

Inoltre, non sono sicuro se questo è il tipo di cosa che stai cercando o no, ma ci sono alcuni risultati recenti sulla realizzabilità di reti prive di scala, che mostrano che mostrano transizioni a due fasi che sembrano essere state appena accettate PRL. Una prestampa dal titolo "Tutte le reti senza scale sono sparse" può essere trovata come arXiv: 1106: 5150 .

Due cose che potresti voler guardare:

Algorithmic Game Theory Ch. 7: Giochi grafici

Fluttuazioni nei giochi evolutivi

Il primo riguarda come trovare equilibri nei giochi o nei sistemi di spin come hai descritto. Alcune meta-strategie per l'adozione della strategia (in particolare quella identica al campionamento di Gibbs che porta a equilibri correlati) consentono analisi molto generali e trattabili.

Il secondo tenta di prevedere grandi fluttuazioni o cambiamenti nelle "norme" in un modello di teoria del gioco evolutivo usando la teoria delle grandi deviazioni. Gli esempi affrontati sono su piccola scala, ma l'autore tenta di rendere il meccanismo matematico che usa il più generale e potente possibile, quindi potrebbe essere applicabile al tuo caso.