Gli automi multipebble possono decidere tutti i linguaggi deterministici sensibili al contesto?

Un MPA (automa multipebble) è un 2DFA (automa finito deterministico a due vie) che può usare un numero arbitrario di ciottoli (in realtà al massimo ciottoli su un dato input - l'input è scritto sul nastro tra due estremità -marker come ). Durante il calcolo, un MPA può rilevare se il simbolo sotto la testa ha un ciottolo, e quindi può mettere un ciottolo (rimuovere il ciottolo) se non c'è ciottolo (un ciottolo).w # w $|w|+2$$w$$\# w \#$

σ k > $h_k(\sigma) = \underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{k \mbox{ times}} = \sigma^k$ è un omomorfismo, dove è un simbolo e .$\sigma$$k>0$

Per qualsiasi linguaggio deterministico sensibile al contesto non è difficile dimostrare che esiste un tale che possa essere riconosciuto da un MPA. Quindi, parlando vagamente, possiamo dirlok > 0 h k ( L$\mathtt{L} ~~ \left( \mathtt{L} \in \mathsf{DSPACE(n)} \right),$$k>0~$$h_k( \mathtt{L} )$

qualsiasi "problema" decidibile da un DTM a spazio lineare (macchina di Turing deterministica) può essere decisa da un MPA.

È vero anche per qualsiasi lingua in ? Gli AMP possono decidere tutte le lingue deterministiche sensibili al contesto?$\mathsf{DSPACE(n)}$

$|w|$è la lunghezza di .$w$

i t h w 1 ≤ i ≤ | w $w_i$ è il simbolo di , dove.$i^{th}$$w$$1 \leq i \leq |w|$

$h_k(\mathtt{L}) = \left\lbrace h_k(w_1) h_k(w_2) \cdots h_k(w_{|w|}) \mid w \in \mathtt{L} \right\rbrace$ .

Forse puoi creare un linguaggio in DPSACE (n) che non può essere riconosciuto da un MPA con usando un argomento di diagonalizzazione (probabilmente l'idea è simile a quella nella risposta di Ben, ma non l'ho scavata):$k=1$

Supponiamo che sopra l'alfabeto codifichi un MPA usando un elenco di transizioni:$\Sigma = \{0,1\}$

$s,a,p \rightarrow s',p',L|R;...\#$

dove è lo stato corrente, è il simbolo corrente, è lo stato di ghiaia, è il nuovo stato, è il nuovo stato di ghiaia, è la direzione di spostamento, è un indicatore finale).$s$$a$$p$$s'$$p'$$L|R$$\#$

Una macchina di Turing sull'input può verificare se è una descrizione valida di un e simularla sull'input per passaggi usando celle, allungando l'input in questo modo:$M$$x$$MPA_x$$x$$4^{|x|}$$6|x|+\log|x|$

 MPA description # MPA tape # curr_state # counter #

Dove:

• La descrizione MPA è la stringa di input originale (ha lunghezza );$x$$|x|$
• Il nastro MPA è la rappresentazione del nastro MPA: per ogni cella possiamo usare 3 bit per memorizzare il flag head, flag pebble e il contenuto (fisso) del nastro (ha lunghezza );$3|x|$
• curr_state memorizza lo stato corrente dell'MPA (ha lunghezza );$\log |x|$
• counter è il contatore di passi di simulazione che viene aggiornato dopo ogni passo di simulazione (ha lunghezza ).$2|x|$

Se arresta in passi, allora TM emette il contrario (se non ferma emette 0).$MPA_x$$4^{|x|}$$M$$M$

Per abbastanza grande , i passaggi di simulazione sono maggiori diche è maggiore della lunghezza di una descrizione di configurazione completa di ; in questo modo se non si arresta in passaggi, allora siamo sicuri che si ripeterà per sempre.$x > x_0$$4^{|x|}$$2^{|x|+2} |x| \log |x|$$MPA_x$$MPA_x$$4^{|x|}$

Supponiamo che ci sia un che decide la stessa lingua di , quindi si ferma sempre e puoi costruire un "più grande" che decide la stessa lingua, con (aggiungi solo stati dum).$MPA_y$$L$$M$$MPA_{y'}$$y'>x_0$

Per costruzione abbiamo, che è una contraddizione.$MPA_{y'}(y') = 1 - M(y') = 1 - MPA_{y'}(y')$

No. Controesempio: il problema di arresto per gli AMP è decidibile nello spazio lineare: se l'MPA ha stati N, abbiamo bisogno di | k | +2 bit di spazio per memorizzare le posizioni di ghiaia, registrare N bit per memorizzare lo stato corrente e bit per memorizzare un contatore; se il contatore va in ciclo, la macchina simulata non si fermerà mai. Questo è lineare in | k | (ignorando lo spazio O (N \ log N) richiesto per descrivere la macchina), come richiesto.$\log(N(|k|+2))+|k|+2$

Poiché questo linguaggio è decidibile nello spazio lineare, è anche espressibile come DCSL.