Decidibilità / algoritmo per il controllo dell'universalità di un set di gate quantistici

Dato un insieme finito di porte quantiche , è decidibile (in senso teorico di calcolo) se è un set di gate universale? Da un lato, "quasi tutti" i gate set sono universali, dall'altro i set di gate non universali non sono ancora ben compresi (in particolare, ovviamente, non è noto se ogni set di gate non universali sia classicamente simulabile), quindi immagino che dare un algoritmo esplicito per verificare l'universalità potrebbe non essere banale. $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— Marcin Kotowski
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Puoi chiarire la domanda? La risposta di Joe presuppone che tu abbia un numero fisso di qubit e tutte le porte agiscano su quelle, ma per l'universalità, spesso assumiamo che le porte possano agire su qualsiasi sottoinsieme di qubit. Ad esempio, CNOT + tutte le porte a un qubit non sono universali se le porte a un qubit possono agire solo sul primo qubit e CNOT è solo dal qubit 1 al qubit 2. In quest'ultimo caso, potremmo voler estrapolare a molti qubit per ottenere l'universalità. In tal caso, penso che la risposta possa essere sconosciuta.

@DanielGottesman: sono d'accordo sui limiti della mia risposta. In effetti, credo che sia indecidibile in quest'ultimo caso come segue: Prendi un automa cellulare su un reticolo infinito di qubit e usalo per codificare il problema di arresto (chiama questo aggiornamento unitario ). Quindi prendere un secondo reticolo con un QCA universale (con aggiornamento unitario ). Possiamo definire un nuovo , dove il pedice indica un qubit che è impostato su se il primo cellulare gli automi si fermano.

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— Joe Fitzsimons,

Quindi il gate è universale se e solo se la prima macchina di Turing si ferma, ed è quindi indecidibile.

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— Joe Fitzsimons,

Per il caso degli hamiltoniani, anziché le porte, la risposta è banalmente sì: si enumera semplicemente gli elementi indipendenti dell'algebra di Lie. Poiché l'algebra di Lie è uno spazio vettoriale con l'aggiunta dell'operatore parentesi Lie. Poiché lo spazio è finito, ha una base finita e che può essere facilmente verificato se è chiuso o aperto sotto l'operazione della staffa Lie. Il semplice controllo della parentesi di Lie di tutte le coppie di operatori ortogonali può essere eseguito nel tempo polinomiale nella dimensionalità dello spazio e una base di operatore adeguata può essere trovata con il metodo Gram-Schmidt.

Per le porte, non hai davvero la stessa opzione per ricorrere immediatamente agli infinitesimi e devi costruire porte con autovalori irrazionali in modo da poter approssimare arbitrariamente bene i generatori infinitesimali richiesti. Immagino che ci sia un modo relativamente semplice per farlo, ma non è immediatamente ovvio per me.

In ogni caso, prendere il registro delle porte per ottenere un insieme di operatori che le generano quando esponenziali e verificare se queste generavano l'intera algebra di Lie fornirebbe un semplice criterio necessario ma non sufficiente per l'universalità.

— Joe Fitzsimons
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Perché dovremmo controllare solo le coppie?

— Alex "battito"

@AlexV: Perché la staffa Lie funziona su 2 ingressi. Ogni volta che produci un nuovo operatore linearmente indipendente, ne produci uno ortogonale e ripeti fino ad ottenere la chiusura.

— Joe Fitzsimons,

Volevo dire che dovresti prendere in considerazione , ma non solo coppie, ad es. Vedi il mio articolo arxiv.org/abs/quant-ph/0010071

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

— Alex 'qubeat'

@AlexV: Non è necessario. È uno spazio vettoriale, quindi un vettore è ortogonale a un dato sottospazio se e solo se è ortogonale a qualsiasi base per quel sottospazio.

— Joe Fitzsimons,

Probabilmente stiamo parlando di cose diverse - di quale spazio vettoriale stai parlando? Non conosci fin dall'inizio la sottoalgebra generata dalle tue porte - devi costruirla da determinati Hamiltoniani per verificare se l'intera algebra di Lie.

— Alex "battito"