Cosa si intende con argomenti euristici di fisica statistica?

Ho sentito che ci sono argomentazioni euristiche nella fisica statistica che producono risultati nella teoria delle probabilità per le quali prove rigorose sono sconosciute o molto difficili da raggiungere. Qual è un semplice esempio di giocattolo di un tale fenomeno?

Sarebbe positivo se la risposta assumesse uno scarso background nella fisica statistica e potesse spiegare cosa sono queste misteriose euristiche e come possono essere giustificate in modo informale. Inoltre, forse qualcuno può indicare il quadro generale di quanta di queste euristiche può essere rigorosamente giustificata e come il programma di Lawler, Schramm e Werner si adatta a questo.

Il secondo paragrafo della risposta di RJK merita maggiori dettagli.

Sia una formula in forma normale congiuntiva, con m clausole, n variabili e al massimo k variabili per clausola. Supponiamo di voler determinare se ϕ ha un compito soddisfacente. La formula ϕ è un'istanza del problema decisionale k-SAT.$\phi$$\phi$$\phi$

Quando ci sono poche clausole (quindi m è piuttosto piccolo rispetto a n), allora è quasi sempre possibile trovare una soluzione. Un semplice algoritmo troverà una soluzione in tempi approssimativamente lineari nella dimensione della formula.

Quando ci sono molte clausole (quindi m è abbastanza grande rispetto a n), allora quasi sempre non esiste una soluzione. Ciò può essere dimostrato da un argomento di conteggio. Tuttavia, durante la ricerca è quasi sempre possibile potare gran parte dello spazio di ricerca mediante tecniche di coerenza, poiché le numerose clausole interagiscono in modo così esteso. La determinazione dell'insoddisfacibilità può quindi essere generalmente eseguita in modo efficiente.

• V. Chvátal e B. Reed. Mick ne ottiene un po '(le probabilità sono dalla sua parte) , FOCS 1992. doi: 10.1109 / SFCS.1992.267789

Nel 1986 Fu e Anderson ipotizzarono una relazione tra problemi di ottimizzazione e fisica statistica, basata su sistemi di vetrate. Anche se hanno usato frasi come

Intuitivamente, il sistema deve essere sufficientemente grande, ma è difficile essere più specifici.

in realtà forniscono previsioni specifiche.

• Y Fu e PW Anderson. Applicazione della meccanica statistica ai problemi NP-completi nell'ottimizzazione combinatoria , J. Phys. A. 19 1605, 1986. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 19/9/033

Sulla base degli argomenti della fisica statistica, Zecchina e collaboratori hanno ipotizzato che k-SAT dovrebbe diventare duro quando è vicino a un valore critico. Il valore critico preciso dipende da k, ma è compreso tra 3,5 e 4,5 per 3-SAT.$\alpha = m/n$

• Rémi Monasson, Riccardo Zecchina, Scott Kirkpatrick, Bart Selman, Lidror Troyansky. Determinazione della complessità computazionale da caratteristiche "transizioni di fase" , Natura 400 133-137, 1999. ( doi: 10.1038 / 22055 , versione gratuita )

Friedgut ha fornito una prova rigorosa di questi argomenti euristici. Per ogni valore fisso di k, ci sono due soglie . Per α inferiore a α 1 , esiste un compito soddisfacente con alta probabilità. Per un valore di α sopra α 2 , formula$\alpha_1 < \alpha_2$$\alpha$$\alpha_1$$\alpha$$\alpha_2$$\phi$

• $k$

Dimitris Achlioptas ha lavorato su molte delle questioni rimanenti e ha dimostrato che l'argomento sopra riportato vale anche per i problemi di soddisfazione dei vincoli. Questi sono autorizzati a utilizzare più di due soli valori per ogni variabile. Un documento chiave mostra rigorosamente perché l'algoritmo Survey Propagation funziona così bene per risolvere istanze casuali di k-SAT.

• A. Braunstein, M. Mézard, R. Zecchina, Propagazione del sondaggio: un algoritmo per la soddisfazione , strutture casuali e algoritmi 27 201–226, 2005. doi: 10.1002 / rsa.20057
• D. Achlioptas e F. Ricci-Tersenghi, Sulla geometria della soluzione-spazio dei problemi di soddisfazione dei vincoli casuali , STOC 2006, 130–139. ( prestampa )

C'è un sondaggio molto recente di Lawler sugli SLE . Dovrai conoscere un po 'di analisi complesse.

Sebbene non sia direttamente correlato alla tua domanda, forse potresti dare un'occhiata ad alcuni dei lavori di Achlioptas che rientrano anche sotto l'egida della "formalizzazione dell'euristica dei fisici", anche se dal punto di vista di un teorico informatico. O forse più in profondità nella prospettiva di statphys che potresti esplorare opere Zecchina .

Penso che valga la pena aggiungere che quelli che hai definito i "risultati" dei fisici - la maggior parte dei quali dovrebbero essere chiamati congetture - in questa categoria molto ampia di problemi si basano quasi (o anche di più) su esperimenti numerici come ( di) su argomenti euristici.

(espandendo il mio commento)

$NP$

Un sondaggio di " euristica dalla natura " può essere trovato qui (circa 95)

Altre euristiche coinvolgono langrangiani generalizzati (ovvero algoritmi primal-dual / aspettativa-massimizzazione)

Tuttavia, questi non esauriscono tutta l '" euristica dalla natura ", dal momento che dal 2003 in poi nuove euristiche basate sull'elettromargnetismo sono state utilizzate per affrontare i metodi di ottimizzazione continua e discreta / combinatoria (come lo zaino multidimensionale o il TSP , circa 2012)