Set di cancelli universali per SU (3)?

Nell'informatica quantistica siamo spesso interessati ai casi in cui un gruppo di operatori unitari speciali, G, per un sistema d-dimensionale fornisce l'intero gruppo SU (d) esattamente o anche solo un'approssimazione fornita da una copertura densa di SU (d).

Un gruppo di ordine finito, come il gruppo Clifford per un sistema D-dimensionale C (d), non fornirà una copertura densa. Un gruppo di ordine infinito non fornirà una copertura densa se il gruppo è abeliano. Tuttavia, la mia intuizione approssimativa è che un numero infinito di porte e operazioni di cambio di base del gruppo Clifford dovrebbero bastare a fornire una copertura densa.

Formalmente, la mia domanda è:

Ho un gruppo G che è un sottogruppo di SU (d). G ha un ordine infinito e C (d) è un sottogruppo di G. Tutti questi G forniscono una copertura densa di SU (d).

Nota che sono particolarmente interessato al caso quando d> 2.

Prendo il gruppo Clifford per essere come definito qui: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Questa non è una risposta completa, ma forse va in qualche modo a rispondere alla domanda.

Poiché ha un ordine infinito ma non lo è, allora contiene necessariamente un gate di gruppo non Clifford. Comunque ha come sottogruppo. Ma per il gruppo Clifford più qualsiasi altra porta non appartenente al gruppo Clifford è approssimativamente universale (vedere ad esempio Teorema 1 qui ). Pertanto tutte queste forniscono una copertura densa su .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Nel caso in cui sembra che sia possibile provare che si ottiene ancora una copertura densa lungo le seguenti righe (usando la notazione del documento collegato alla domanda):$d>2$

1. Poiché tutte le porte in sono unitarie, tutti i loro autovalori sono radici di unità, che per semplicità parametrizzerò con angoli reali .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Poiché ha un ordine infinito, o contiene porte per le quali almeno un valore è un multiplo irrazionale di o contiene un'approssimazione arbitrariamente buona a un tale multiplo irrazionale di . Designiamo uno di questi gate .G θ k π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Quindi esiste una tale che è arbitrariamente vicino, ma non uguale all'identità.g $n$$g^n$
4. Poiché è unitario, può essere scritto come . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Poiché il gruppo Pauli come definito in quant-ph / 9802007 costituisce una base per matrici , è possibile scrivere , dove e per qualsiasi (di [3]), con almeno uno di questi non uguale a zero.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Possiamo quindi scegliere un elemento dal gruppo Clifford che mappa su in coniugazione. Quindi , dove è solo una permutazione di e .X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Nota che soddisfa . Definiamo .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z - ℓ d C g n C , b ) ω j $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Secondo il teorema Baker-Cambel-Hausdorff, poiché tutti sono stati resi arbitrariamente vicini all'identità, possiamo valutare il prodotto di al primo ordine come . Sommando tutte le rotte dell'unità, per ottiene . Questa è sostanzialmente una sequenza di disaccoppiamento che disaccoppia gli elementi non diagonali.g ′ = g 1 × . . . × g d exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$d > 1 $\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Poiché nell'esponenziale rimangono solo matrici diagonali, deve essere diagonale. Inoltre a causa delle restrizioni su ha necessariamente autovalori che sono diversi da zero ma proporzionali a .α ′$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Variando e ripetendo il processo sopra descritto dovrebbe essere possibile generare cancelli linearmente indipendenti: , in modo tale che il loro prodotto si in un cancello diagonale con fasi irrazionali e incommensurate o un'approssimazione arbitrariamente vicina a uno.d g ′ 1 . . . g ′ $\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. Con il riferimento fornito nella risposta di Mark Howard questo, insieme al gruppo Clifford, dovrebbe essere sufficiente per l'universalità approssimativa.

Credo che la risposta alla domanda originale sia probabilmente sì, ma purtroppo non posso dirlo definitivamente. Posso aiutare a rispondere alla domanda estesa di Peter, tuttavia.

In matematica / 0001038, di Nebe, Rains e Sloane, mostrano che il gruppo Clifford è un sottogruppo finito massimo di U (2 ^ n). Solovay lo ha anche dimostrato in un lavoro inedito che "utilizza essenzialmente la classificazione di gruppi semplici finiti". The Nebe et al. il documento mostra anche che il gruppo qudit Clifford è un sottogruppo massimo finito per il primo p, usando anche la classificazione dei gruppi finiti. Ciò significa che il gruppo Clifford più qualsiasi gate è un gruppo infinito, il che rende superfluo uno dei presupposti della domanda originale.

Ora, sia Rains che Solovay mi hanno detto che il passo successivo, mostrando che un gruppo infinito contenente il gruppo Clifford è universale, è relativamente semplice. Tuttavia, non so come funzioni effettivamente questo passaggio. E, soprattutto, per la domanda originale, non so se stessero considerando solo il caso qubit o anche il caso qudit.

In realtà, potrei aggiungere che non capisco neanche la prova Nebe, Rains e Sloane, ma vorrei farlo.

Non mi è chiaro se stai chiedendo di SU (3) o SU (3 ) che agiscono su un prodotto tensore di qudits. Suppongo che stai chiedendo di SU (3). Non è chiaro per me (nonostante ciò che ho detto in una versione precedente della mia risposta) che l'affermazione per SU (3) implica l'affermazione per SU (3 ).$^{n}$$^n$

Finché l'insieme delle porte non si trova in un sottogruppo di SU (3), genererà una copertura densa di SU (3). Quindi è necessario verificare se uno qualsiasi dei sottogruppi infiniti di SU (3) contiene il gruppo Clifford. Sono abbastanza sicuro che non lo facciano, ma non posso dirlo con certezza. Ecco una domanda di overflow matematico che fornisce tutti i sottogruppi di Lie di SU (3).

Ho pensato di aggiornare questo thread prima che il sito venga bloccato per sempre.

La risposta di Daniel è sulla retta via. Questo "prossimo passo" che menziona appare nel libro successivo di Nebe, Rains and Sloane, " Codici auto-doppi e teoria invariante ".

La risposta a questa domanda è quindi "Sì" - e segue direttamente il Corollary 6.8.2 nel libro di Nebe, Rains and Sloane.

Sono grato a Vadym Kliuchnikov che me lo ha segnalato mentre ero in visita a Waterloo.

Penso che il seguente documento possa contenere le costruzioni rilevanti per dimostrare la totale universalità

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

In particolare, il commento alla fine della sezione afferma che la fase controllata , la trasformata di Fourier , e una porta diagonale con fasi irrazionali e non accurate danno l'universalità approssimativa. (Questa è una condizione sufficiente su ma sono abbastanza sicuro che non sia una condizione necessaria.)C Z F D $4$$CZ$$F$$D$$D$

Se la tua la forma corretta (e le porte diagonali sembrerebbero una scelta naturale), il risultato si applica$G$

Un approccio alternativo sarebbe quello di creare gli stati ancilla richiesti per l'implementazione del qudit Toffoli, o usando direttamente insieme a Cliffords per implementare il Toffoli. E 'difficile dire se questo è possibile senza sapere di più su .$G$$G$