Definizione formale / controparte in matematica per "Oggetti" di modelli orientati agli oggetti

Questa è una domanda che ho posto nel forum di matematica su SE, e sono stato rinviato qui. Quindi ecco la domanda-

Sono un principiante sia in matematica formale che in informatica teorica, quindi per favore abbi pazienza se trovi che la mia domanda non è correttamente inquadrata. La modellazione orientata agli oggetti sembra molto utile nel definire interazioni complesse durante la simulazione del mondo reale. Ma è principalmente usato nella programmazione. Mi chiedevo se abbiamo un concetto simile in matematica. Quando stiamo programmando, possiamo capire il concetto di "Oggetti" e "Programmazione orientata agli oggetti" e implementarlo. Ma abbiamo una definizione formale di "oggetti" in termini di teoria degli insiemi? O del resto, qualsiasi altra teoria matematica formale?

Possiamo implementare / definire formalmente tre concetti di modellizzazione orientali dell'oggetto primario- 1. Incapsulamento 2. Ereditarietà 3. Polimorfismo

So che la domanda è troppo ampia, ma apprezzerei molto se tu potessi fornire anche alcuni suggerimenti in modo che io possa capire meglio questi concetti.

La risposta è complicata, per due motivi.

1. Diverse persone in Informatica interpretano il termine "oggetto" in modo diverso. Uno è che un oggetto è costituito da alcuni dati e operazioni impacchettati insieme. L'altro è che un oggetto è tutto ciò ma ha anche "stato", cioè è una forma di entità mutevole .

2. Ci sono profonde questioni filosofiche a che fare con ciò che significa "cambiamento" (e che cosa significa "entità", in quanto è in continua evoluzione) e se le descrizioni matematiche in realtà catturano entità mutevoli.

$h_g(x) = g x g^{-1}$$h_g$$g$$x \mapsto g x g^{-1}$$\langle g, x \mapsto gxg^{-1}\rangle$$\langle g, x \mapsto gxg^{-1}, x \mapsto g^{-1}xg\rangle$

$x$$\dot{x}$$x(t)$$\dot{x}$$x(t)$$t$. Da questo, molti matematici di pensiero profondo hanno concluso che il cambiamento non esiste davvero e tutto ciò che hai sono funzioni del tempo. Ma ciò che stava cambiando nella meccanica newtoniana non era la posizione, ma la particella . La posizione è il suo stato istantaneo. Nessun matematico o fisico pretenderebbe che una particella sia un'idea matematica. È una cosa fisica.

Lo stesso vale per gli oggetti. Sono cose "fisiche" e gli stati sono i loro attributi matematici. Per una bella discussione di questo aspetto, consultare il capitolo 3 di Struttura e interpretazione dei programmi per computer di Abelson e Sussman . Questo è un libro di testo al MIT e lo insegnano a tutti gli scienziati e ingegneri, che penso capiscano perfettamente le cose "fisiche".

$x_1(t)$$x_2(t)$

Allo stesso modo, il modo matematico standard per modellare i programmi orientati agli oggetti è di trattare ogni oggetto come un indice nello spazio degli stati. L'unica differenza è che, poiché gli oggetti vanno e vengono e la struttura del sistema è dinamica, dobbiamo estenderlo a un modello di "mondo possibile" in cui ogni mondo è fondamentalmente una raccolta di indici. Allocazione e deallocazione di oggetti comporterebbe il passaggio da un mondo all'altro.

C'è un problema però. A differenza della meccanica, vogliamo che lo stato dei nostri oggetti sia incapsulato . Ma le descrizioni matematiche degli oggetti mettono gli stati ovunque, distruggendo completamente l'incapsulamento. Esiste un trucco matematico chiamato "parametria relazionale" che può essere usato per ridimensionare le cose. Non ci entrerò ora, se non per sottolineare che si tratta di un trucco matematico, non una spiegazione molto concettuale dell'incapsulamento. Un secondo modo di modellare matematicamente gli oggetti, con l' incapsulamento, è quello di affinare gli stati e descrivere il comportamento degli oggetti in termini di eventi osservabili. Per una buona discussione di entrambi questi modelli, posso fare riferimento al mio documento intitolato Oggetti e classi in linguaggi simili all'Algol .

[Nota aggiunta:]

Una bella analisi delle basi matematiche degli oggetti può essere trovata nell'articolo di William Cook " Sulla comprensione dell'astrazione dei dati, rivisitato ".

penso che esista una descrizione teorica abbastanza buona degli oggetti nel vecchio libro classico "struttura e interpretazione dei programmi per computer" [1] di abelson & sussman, basato sullo schema (una variante lisp). ora gratis online! questo mostra come il concetto di orientamento dell'oggetto può essere incorporato anche nel calcolo lambda (~ aka Lisp) se si dispone di un meccanismo per memorizzare lo stato locale. a quanto ho capito, questo è stato un libro di testo del MIT standard per molti anni. non dire che questo è il miglior riferimento al soggetto; sono sicuro che ce ne sono altri migliori in questo pt.

Non penso che questo sia stato completamente formalizzato ovunque io abbia sentito parlare, ma gli oggetti vagamente parlando sono fondamentalmente composti da codice + dati sotto forma di

• metodi (con parametri)
• stato, ovvero variabili di istanza

in qualche forma incapsulata. probabilmente altri aspetti come l'eredità non sono fondamentali. come affermato in abelson & sussman, quello che chiamano "zucchero sintattico".

[1] struttura e interpretazione dei programmi per computer di abelson & sussman