Equazioni principali e modulo somma operatore

12

Sono più un ragazzo di ottica quantistica che un ragazzo di informazioni quantistiche, e mi occupo principalmente di equazioni master. Sono interessato al modulo somma operatore, e mi piacerebbe derivare gli errori in questo modulo per un piccolo sistema quantico che sto simulando.

Il problema: il sistema quantistico è guidato da un campo esterno (classico) modellato con una funzione sinusoidale e i tassi di smorzamento sono bassi, quindi non posso effettuare un'approssimazione delle onde rotanti per eliminare questa dipendenza dal tempo. Dato che devo risolvere numericamente l'equazione principale per integrazione e il risultato di ogni integrazione al momento non sono informazioni sufficienti per capire questi errori, e ho bisogno di fare un po 'di lavoro per recuperare la matrice di superoperatori che ha operato su una densità vettoriale matrice. cioè io alimento l'equazione master una matrice di densità vettoriale con una singola voce di 1 e lo zero rimanente, e costruisco la matrice in questo modo per un tempo particolare . Sono sulla strada giusta qui (controllo di integrità)? Più esplicitamente, se $t$ $\tau$ è la Vectorised (quindi è un vettore colonna) sotto forma di una matrice densità con una singola entrata di 1 in posizione , a che è stato evoluto per tempo , allora una matrice prendere la forma vettoriale della matrice di densità da a è dato come $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

La domanda: dato questo superoperatore che fa $\mathbf{M}$ , come posso ottenere operatori Krauss per l'equivalente di di operatoreche sono in una forma utile? cioè il sistema in questione è un qubit o un qutrit e un altro qubit o qutrit. Mi piacerebbe poter fare la somma dell'operatore sotto forma di prodotti tensoriali di matrici di spin su ogni canale, se possibile. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Domanda a margine: è una matrice Choi? $\mathbf{M}$

Nota finale: ho assegnato l'accettazione a Pinja, come ho usato il documento suggerito da Pinja. Di seguito ho fornito una risposta che riempie i dettagli.

quantum-information

— qubyte
fonte

Cosa intendi con "sistema in questione è un qubit o un qutrit e un altro qubit o qutrit". - che cos'è l '"altro sistema"? Stai parlando dell'ancilla necessaria per implementare questo canale usando unitaries + tracing? In tal caso, nota che la dimensione dell'ancilla può essere fino a D ^ 2, quindi i qubit non lo faranno.

— Norbert Schuch,

No, al momento è solo un modello giocattolo composto da due piccoli sistemi quantistici che sono accoppiati e hanno tempi T1 e T2 diversi. La risposta a questa domanda non è di grande preoccupazione. È più un punto di interesse, in quanto potrebbe essere utile sapere di più su come farlo in futuro.

— qubyte

Posso far migrare questa domanda alla teoria CS piuttosto che alla fisica, per favore?

— qubyte

Beh ... penso che questo sarebbe andato bene qui, ma va bene.

— David Z,

Grazie. Siamo spiacenti, ma non sono un grande fan di Physics.SE e, comunque, penso che le domande di QI orientate alla ricerca si adattino meglio qui (dopo essere stato convinto).

— qubyte

9

Ho lavorato su un problema molto simile alla mia tesi di Master, in cui ho studiato la dinamica non markoviana di un qubit guidato in un ambiente dissipativo. Il mio interesse era verificare che l'equazione principale che avevo ottenuto fosse completamente positiva, ma questo è solo un aspetto del tuo problema. La domanda si è rivelata molto non banale se non è stata fatta alcuna RWA, ma sono stato in grado di ottenere alcuni risultati usando Ref. [ J Mod. Optare. 54, 1695 (2007) ] e sfruttando il fatto che il qubit è debolmente accoppiato all'ambiente. Batterò il mio tamburo e darò anche il Ref. a un articolo in cui presento alcuni di questi risultati, [P. Haikka e S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , potresti trovarlo utile.

Ah! Risulta che sto guardando il documento di Andersson da alcuni giorni. Sembra molto promettente e dà la ricetta più concreta. Mi piace avere un metodo da applicare ai problemi. Ad essere sincero, ho bisogno di trovare un po 'di tempo per sedermi davvero e guardare questo. È più un progetto personale al momento.

— Qubyte

7

I riferimenti forniti in risposta alla meccanica quantistica come processo di Markov - in particolare le note online di Carlton Caves " Mappe completamente positive, mappe positive e la forma di Lindblad " - esaminano idee fisiche e strumenti matematici che sono utili nel rispondere alla domanda.

$M$ $M$ $M$ $M$ viene numericamente indicato nella sua interezza.

$M$

Se si potesse rispondere efficacemente a domande come queste "trasformando una manovella algoritmica", la fisica quantistica sarebbe un argomento molto meno interessante! :)

— John Sidles
fonte

Questo è praticamente ciò che speravo non fosse il caso, ma il pensiero sarebbe stato. Purtroppo il sistema ha una simmetria sfruttabile solo nel caso di sfasamento senza spopolamento. Esiste una forma molto attraente dell'equazione principale di Lindblad che raccoglie termini che non sono della forma di Krauss in un Hamiltoninan non eremitico, che nel caso di nessuna dipendenza dal tempo nell'Hamiltoniano può essere usato per scegliere una base che esprime naturalmente il decadimento come i rimanenti termini di Krauss. Pulito, ma nessun aiuto per me.

— qubyte

Uno dei riferimenti nelle note di Caves è Wolf e Cirac Dividing canali quantistici (arXiv: math-ph / 0611057), che consiglio senza la minima garanzia di aver afferrato personalmente le (molte e sottili) questioni informatiche quantistiche di cui questo articolo discute! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

Penso che ciò che potresti cercare sia questo: The Real Density Matrix . Ti dà una ricetta per la conversione tra varie rappresentazioni di superoperatori (incluso l'uso di una base di prodotti tensore di Paulis). Un esperimento dettagliato di tomografia quantistica di processo che utilizza i risultati sono qui: Tomografia quantistica di processo della trasformata quantistica di Fourier . Più in generale, Havel ha anche derivato algoritmi per la conversione in rappresentazioni Kraus minime qui: Procedure per la conversione tra le rappresentazioni Lindblad, Kraus e Matrix dei semigruppi dinamici quantistici .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
fonte

Questo è interessante, potrebbe essere esattamente quello che sto cercando ...

— qubyte

Ho appena visto la tua aggiunta. Grazie, è molto utile. Inizialmente ho preso la tua versione di VEC, ma ora uso le colonne impilate. Grazie a Wikipedia per quello. Forse dovrei adottare la tua notazione per chiarezza.

— qubyte

4

Come notato da Pinja, un articolo di Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) è stato particolarmente utile. Il documento è molto dettagliato e finalmente mi sono seduto oggi a dare un'occhiata corretta. Ad esempio, ho selezionato due qubit con un'interazione di scambio per verificare ciò che è una versione minima di ciò che sto prendendo in considerazione. Per iniziare, l'equazione principale è data da

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Se abbiamo a che fare con l'equazione principale come matrice che agisce su un operatore a densità vettoriale come discusso nella domanda, allora questo può essere espresso come

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

che consente a L di essere derivato in una singola equazione di matrice, ma questo è un po 'fuori tema.

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Finalmente la parte meravigliosa.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Funziona nel caso indipendente dal tempo per esci e qutrits come previsto. Devo verificare che funzioni in caso di dipendenza dal tempo.

— qubyte
fonte