Quanto è dura la mafia?

La mafia è un popolare gioco di ruolo alle feste, una descrizione dettagliata è disponibile su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 .

Fondamentalmente, funziona come segue:

All'inizio, a ciascuno degli giocatori viene assegnato segretamente un ruolo, allineato con la mafia o con la città. Ogni ruolo può avere abilità speciali; ne parleremo più avanti. $N$
Ci sono due fasi del gioco: giorno e notte. Di notte, la mafia può comunicare segretamente tra loro; e possono concordare un giocatore bersaglio che uccidono quella notte. Al giorno, tutti i giocatori (vivi) comunicano in un forum aperto. I giocatori possono concordare di linciare un giocatore, è necessaria la maggioranza assoluta di tutti i giocatori.
Il gioco termina se rimane solo la mafia o se rimane solo la città. Vince la parte sopravvissuta.
Supponiamo che ci siano tre ruoli: Citizen, Investigator e Mafioso. I cittadini non hanno poteri. Mafiosi non ha altre capacità oltre a poter comunicare tra loro di notte e votare per una vittima di omicidio ogni notte. Gli investigatori possono indagare su un altro giocatore in ogni notte, scoprendo il loro ruolo esatto.
Supponiamo che il gioco inizi di giorno e che il ruolo di un giocatore venga rivelato alla morte

Strategie vincenti

Dato un setup di Investigators, Citizen e Mafiosi, diciamo che il setup sta vincendo per Town , se esiste una strategia per i giocatori Town, in modo tale che vincano, non importa come La mafia gioca. $(i,c,m)$ $i$ $c$ $m$

Si noti che possiamo supporre che la mafia giochi con informazioni complete, dal momento che vogliamo rendere conto di qualsiasi decisione possano prendere.

Esempio: il setup vince per Town. $(4,1,1)$

Giorno 1: tutti i giocatori di Town segnalano sinceramente il loro ruolo nella chat aperta. Il giocatore mafioso deve dichiarare di essere Investigatore o Cittadino.

Se rivendica il Cittadino, allora il Mafioso è uno dei due presunti Cittadini. Ogni investigatore può indagare su uno dei due e scoprirà quello vero. Al massimo un investigatore può morire nella notte e gli altri due semplicemente impiccano il Mafioso.

Quindi, il Mafioso deve reclamare Investigatore. Ci sono 5 presunti Invesigatori. Nella chat aperta, gli investigatori concordano una permutazione per controllarsi a vicenda.

Notte 1: gli investigatori controllano i loro obiettivi e il Mafioso ne uccide uno.

Giorno 2: rimangono 3 investigatori. Tutti i presunti investigatori riportano i loro risultati. Indipendentemente da chi è stato ucciso, almeno uno di essi è confermato anche da un altro investigatore vivo. Dato che il Mafioso ha affermato Investigatore, deve anche dire se il suo obiettivo assegnato era la mafia o no. Se incornicia qualcuno, allora la Città sa che lui, o quello incorniciato, è Mafia, contro l'altra 3 Città confermata. Se non incornicia nessuno, ci saranno anche 3 Città confermate. Ad ogni modo, non impiccare nessuno e indagare sugli unici 2 sospetti rimasti vince per la Città.

Domande

Quanto è difficile decidere se una determinata configurazione ammette una strategia vincente per Town? Intuitivamente, questo suona come un problema -Complete. Qualcuno può escogitare una riduzione? $PSPACE$
Possiamo trovare configurazioni vincenti minime? Come in possiamo minimizzare i rapporti o ? $i:m$ $(i+c):m$

cc.complexity-theory gt.game-theory combinatorial-game-theory

— Syzygy
fonte

Le identità sono rivelate alla morte?

— Piotr Migdal,

Oh, sì lo sono, mi sono dimenticato di menzionare.

— Syzygy,

Interessante. Ho giocato una versione di questo gioco in cui le identità non vengono rivelate al momento della morte. Rende di più sulla creazione di storie credibili e sul rilevamento delle bugie.

— Lucas Cook,

Il gioco può mai diventare più difficile man mano che

restringe ma la dimensione della popolazione rimane la stessa?

m

$m$

— Lucas Cook,

@LucasCook Sì, vedi arxiv.org/abs/1009.1031 (il mio documento sul gioco Mafia). In una partita in cui due giocatori possono essere uccisi in un turno, la parità del numero totale di giocatori è importante. Tuttavia, l'effetto dipende dalle regole esatte (ad esempio se il linciaggio è facoltativo o meno); e potrebbe non apparire in scenari non probabilistici (ad esempio domande sulla strategia vincente, non - sulla probabilità di vincita).

— Piotr Migdal,

Risposte:

Ecco un riferimento che vorrai guardare: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafia: uno studio teorico di giocatori e coalizioni in un ambiente di informazione parziale Braverman, M. ed Etesami, O. e Mossel, E. The Annals of Applied Probability 2008

— Aaron Roth
fonte

Non mi rendevo conto che il problema era già stato studiato. Vorrei saperlo quando stavo giocando a Mafia :)

— Suresh Venkat

Grazie, esaminerò questo ... Tuttavia, sembra che si concentrino su strategie randomizzate, piuttosto che cercare strategie vincenti deterministiche in cui la mafia gioca con informazioni complete

— Syzygy,

Questo documento affronta le probabilità e quindi affronta un problema alquanto diverso.

— domotorp,

@domotorp: A causa del modo in cui è istituita la mafia, con una conoscenza incompleta, è possibile che una strategia probabilistica sia la migliore. Se un Mafioso afferma sempre di essere un Cittadino (o afferma sempre di essere un Investigatore), il numero di sospetti di cui la Città deve preoccuparsi si riduce notevolmente.

— Peter Shor,

@Peter: sono d'accordo con te, ma questa domanda riguarda le strategie vincenti deterministiche nel caso peggiore, come ha anche notato Syzygy nel suo commento.

— domotorp,

Prima di tutto, nota che è sempre vantaggioso iniziare il gioco chiedendo a ciascun cittadino il proprio ruolo se stiamo cercando una strategia vincente deterministica per Town. Questo perché se non importa ciò che i Mafiosi si dichiarano vincitori della Città, ovviamente non è male chiedere. E se i mafiosi possono dichiararsi qualcosa e vincere in quel caso, allora fanno finta di aver fatto la dichiarazione e di agire di conseguenza.

Inoltre, un gioco come questo probabilmente non sarà completo per PSPACE in quanto non esiste una struttura sottostante. Credo fermamente che non sia difficile analizzare il gioco per tutti i valori di i, c, m. Di seguito lo faccio per m = 1. Quindi d'ora in poi supponiamo che ci sia solo un mafioso, M, e il gioco inizia con la richiesta dei ruoli. Ora M sostiene un investigatore o un cittadino. Controlliamo entrambi i casi.

Caso 1: M reclama investigatore

Se i = 0, allora Town vince se c è almeno 2.

Se i = 1, allora Town vince se c è almeno 4. Per numeri più piccoli perdono perché M può uccidere un cittadino ogni notte.

Se i = 2, allora Town vince se c è almeno 3. I 3 presunti investigatori possono chiedersi a vicenda in ordine circolare. M viene rivelato a meno che uno di loro non muoia, quindi deve uccidere un investigatore. Questo riduce il gioco nel caso i = 1.

Se i = 3, allora Town vince se c è almeno 1. I 4 presunti investigatori possono chiedersi a vicenda in ordine circolare. M viene rivelato a meno che uno di loro non muoia, quindi deve uccidere un investigatore. Ora ci sono (al massimo) due possibilità per M e almeno 5 persone rimaste, quindi possono uccidere entrambe. Se c = 0, quindi non importa come si chiedano l'un l'altro, M può sempre uccidere qualcuno e rimanere nascosto (secondo l'analisi del caso), quindi Town non ha vincite deterministiche.

Se i> = 4, allora Town vince dai presunti investigatori che si chiedono l'un l'altro in un ordine circolare, come nel caso i = 3.

Caso 2: M rivendica il cittadino

Qui il gioco è molto più semplice, gli investigatori chiedono persone diverse in ogni round e M ne uccide uno ogni notte (è sempre meglio uccidere un investigatore che un cittadino). Inoltre, a volte potrebbero votare per uccidere un cittadino (in effetti, è sempre ok farlo, a meno che i = 2 ec = 1). A causa dell'uso della ricorsione, è meglio consentire anche ai cittadini dimostrati innocenti e indicare il loro numero con n.

La città vince se

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, e da qui possiamo vedere (e anche provare facilmente) che per i vince se e solo se n> = c + 2-i ^ 2. Dato che nel gioco reale non ci sono cittadini innocenti all'inizio, questo significa che la Città vince se i ^ 2> = c + 2.

Mettendolo insieme: Town non ha una vittoria deterministica se i <= 2. Per i = 3, Town vince per 1 <= c <= 7 (come per 0 M può rivendicare l'investigatore e per c> = 8, può rivendicare il cittadino). Per i> = 4, Town vince per c <= i ^ 2-2.

— domotorp
fonte