La programmazione 0-1 con un numero costante di vincoli è risolvibile polinomialmente?

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È stato mostrato nel documento "Programmazione di numeri interi con un numero fisso di variabili" che le programmazioni di numeri interi con numero costante di vincoli (o variabili) sono risolvibili polinomialmente.

Questo vale per la programmazione 0-1?

cc.complexity-theory integer-programming

— Regolarità
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La programmazione 0-1 non è un caso speciale di programmazione di numeri interi?

— Nathann Cohen,

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Immagino che la parte non banale sia questa: se si dispone di un algoritmo black box A in grado di risolvere programmi interi con un numero costante di vincoli (ma arbitrariamente molte variabili), non è ovvio come utilizzare A per risolvere i programmi 0-1 con un numero costante di vincoli. Non puoi semplicemente aggiungere vincoli del modulo per ogni variabile .

0 \leq x_{i} \leq 1

$0 \le x_i \le 1$

x_{i}

$x_i$

— Jukka Suomela,

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Che cos'è "un programma 0-1 con un numero costante di vincoli"? I vincoli non contano?

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i \le 1$

— Jeffε,

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Suppongo che per "programmazione 0-1 con un numero costante di vincoli" intendi il seguente problema:

Massimizza alcune funzioni lineari di (x_1, x_2, ..., x_n) in base ai vincoli che ogni x_i è in {0,1} e un numero costante di vincoli lineari aggiuntivi.

Questo problema è NP-completo anche con 1 vincolo aggiuntivo poiché lo zaino 0-1 può essere scritto in questo modulo.

— Robin Kothari
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Inoltre, "zaino illimitato", in cui si hanno solo i limiti di non negatività e i vincoli di integralità senza i limiti superiori di 1, è ancora NP-difficile.

— daveagp,

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Lenstra ha mostrato nel documento citato che il problema di fattibilità del programma lineare integer

$A_{m,n}$ $b \in \mathbb{Z}^m$
$x \in \mathbb{Z}^n$ $Ax \le b$

è polinomialmente risolvibile, se n o m è costante. (Notare l'assenza di una funzione obiettivo.) Questo risultato è comunemente usato nell'analisi dei problemi parametrizzati, cioè può essere usato per dimostrare la tracciabilità dei parametri fissi mediante una riduzione.

— muede
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Non sono sicuro del motivo per cui hai pubblicato questo, ma se stai insinuando che la differenza tra la versione di fattibilità e la versione di ottimizzazione è importante, allora no, non è importante: un algoritmo a tempo polinomiale per la versione di fattibilità può essere utilizzato per risolvere la versione di ottimizzazione anche in tempo polinomiale combinandola con la ricerca binaria.

— Tsuyoshi Ito,

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La programmazione di numeri interi 0-1 o la programmazione di numeri interi binari (BIP) è il caso speciale della programmazione di numeri interi in cui le variabili devono essere 0 o 1 (anziché numeri interi arbitrari). Questo problema è anche classificato come NP-hard, e in effetti la versione decisionale è NP-Complete.

— Karan Sapra
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Mentre sia IP che BIP sono NP-hard, ciò non dice molto se IP e BIP con un numero costante di vincoli sono NP-hard. In effetti, IP con un numero costante di vincoli è in P, mentre BIP con un numero costante di vincoli è ancora NP-difficile.

— Robin Kothari,

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$k$ $2^k$

— user8477
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