Isomorfismo imperfetto del sottografo

Si consideri il seguente problema: dato un grafico di query $G = (V, E)$ e un grafico di riferimento $G' = (V', E')$ , vogliamo trovare la mappatura iniettiva $f : V \rightarrow V'$ che minimizza il numero di fronti $(v_1, v_2) \in E$ tale che $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$ . Questa è una generalizzazione delproblema dell'isomorfismo dei sottografi incui consentiamo ai sottografi di essere isomorfi fino a pochi bordi mancanti e vogliamo trovare il modo di ridurre al minimo il numero di bordi mancanti.

$(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$ è lì per penalizzare solo i pesi dal grafico della query essendo maggiore di quelli del grafico di riferimento).

La mia domanda è: questo problema è già stato studiato? Ha un nome noto? Sono noti algoritmi di approssimazione efficienti?

La motivazione di questo problema (a parte il fatto che sembra una generalizzazione naturale del problema dell'isomorfismo del sottografo) è che è un bel modo di fare un piano di tabella per una festa: il grafico della query è il grafico degli ospiti con pesi ai bordi che rappresenta la misura in cui due persone vogliono interagire, il grafico di riferimento ha le sedi del tavolo come vertici e pesi dei bordi che indicano in che misura è possibile la comunicazione, la soluzione del problema è una mappatura dalle persone alle sedi del tavolo che rispetti la struttura sociale per la massima estensione possibile.

— a3nm
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Perché hai bisogno di "indotto" nel titolo?

— Yota Otachi,

@Yota Otachi: Perché ho sbagliato. Grazie!

— a3nm,

Il tuo problema è il Problema massimo del sottografo del bordo comune (Max CES) definito come segue: dati due grafici e , trova un grafico con il numero massimo di bordi che è isomorfo a un sottografo di e a un sottografo di . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Prova : stai trovando un sottografo di isomorfo in un sottografo di , dove è ridotto al minimo. Dal è un invariante di , è ridotto a icona se e solo se è massimizzato. Chiaramente, è isomorfo per un sottografo di e per un sottografo di $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ . QED $G'$

Approssimabilità. Nella tesi di dottorato di Kann, ho trovato la descrizione "non nota per essere approssimabile all'interno di una costante" [3] (p. 115). In un recente articolo di Bahiense et al. [1], si dice che se e non devono essere uguali, il problema diventa difficile APX. Ma la citazione per questo risultato è una comunicazione privata inedita [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

L. Bahiense, G. Manic, B. Piva, CC de Souza. Il massimo problema del sottografo del bordo comune: un'indagine poliedrica. Matematica applicata discreta, per apparire. doi: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
MM Halldorsson, Comunicazione personale, manoscritto inedito, 1994.
V. Kann. Sulla approssimabilità dei problemi di ottimizzazione NP-completi. Ph.D. Tesi, rapporto NADA TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— Yota Otachi
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Sembra che questo sia effettivamente equivalente al mio problema. Molte grazie! Sei a conoscenza dei risultati su una versione ponderata di Max CES?

— a3nm,

Non ho idea della versione ponderata. Penso che

dovrebbe essere

, giusto?

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— Yota Otachi,

Sì, la somma è più naturale se vogliamo generalizzare il caso non ponderato, anche se immagino possa avere senso minimizzare la somma dei quadrati o qualsiasi funzione della differenza di peso.

— a3nm,

Grazie per il montaggio. Sono d'accordo, è naturale usare la somma delle differenze di peso (o qualsiasi funzione su di essa) come penalità.

— Yota Otachi,