Una versione precedente di questa risposta era originariamente pubblicata come risposta alla domanda " Conseguenze di giochi unici come un problema NPI " di NicosM. Poiché si è scoperto che non rispondeva a ciò che voleva chiedere, l'ho spostato su questa domanda.
Risposta breve: significano dichiarazioni diverse. Il secondo implica il primo, ma il primo non implica necessariamente il secondo.
Risposta lunga: ricorda che l'unico problema di gioco è il seguente problema promettente.
Problema di gioco unico con i parametri k ∈ℕ e ε , δ > 0 (1− ε > δ )
Istanza : un gioco unico G per giocatore singolo a un round con dimensione dell'etichetta k .
Sì-promessa : G ha valore almeno 1− ε .
Nessuna promessa : G ha valore al massimo δ .
La congettura unica dei giochi afferma:
Congettura di giochi unici. Per tutte le costanti ε e δ , esiste una costante k tale che il problema di gioco unico con i parametri k , ε e δ è NP-completo.
Considera i risultati del seguente modulo:
(1) Supponendo la congettura unica dei giochi, il problema X è NP-difficile.
(Un esempio di X è il problema dell'approssimazione del taglio massimo all'interno di un fattore costante R > R GW .)
La maggior parte (se non tutti) dei risultati del modulo (1) in realtà dimostra il seguente fatto:
(2) Esistono costanti ε e delta tale che per ogni costante k , il problema unico gioco con parametri k , ε e δ è riducibile a X .
È facile verificare che (2) implichi (1). Tuttavia, (2) implica più di (1): per esempio, supponiamo che un giorno possiamo dimostrare che una variante della congettura di giochi unica in cui "NP-complete" è sostituita da " GI -hard". Quindi (2) implica che X è anche GI-difficile. (1) non implica questo. Questo è il motivo per cui alcune persone ritengono che l'affermazione (1) non sia il modo migliore per affermare il teorema: (1) è più debole di ciò che è effettivamente dimostrato e la differenza potrebbe essere importante.
Sebbene (2) sia un'affermazione più accurata di ciò che è dimostrato, è chiaramente un boccone. Questo è il motivo per cui le persone hanno escogitato una scorciatoia per questo: "Problema X è UG-difficile" è una scorciatoia per (2).