Cos'è la durezza UG e in cosa differisce dalla durezza NP basata sulla congettura unica dei giochi?


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Ci sono molti risultati di inapprossimabilità che si basano sulla congettura unica dei giochi. Per esempio,

Supponendo l'esclusiva congettura dei giochi, è NP-difficile approssimare il problema di taglio massimo all'interno di un fattore R per qualsiasi R > R GW costante .

(Qui R GW = 0,878 ... è il rapporto di approssimazione dell'algoritmo Goemans-Williamson.)

Tuttavia, alcune persone preferiscono utilizzare il termine " UG-hard " come:

È difficile UG approssimare il problema di taglio massimo all'interno di un fattore R per qualsiasi R > R GW costante .

Il secondo è solo una scorciatoia per il primo o significano dichiarazioni diverse?


+1 Molto bello. Grazie Tsuyoshi per aver fatto luce su questo importante concetto nella teoria della complessità.
Mohammad Al-Turkistany,

Risposte:


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Una versione precedente di questa risposta era originariamente pubblicata come risposta alla domanda " Conseguenze di giochi unici come un problema NPI " di NicosM. Poiché si è scoperto che non rispondeva a ciò che voleva chiedere, l'ho spostato su questa domanda.

Risposta breve: significano dichiarazioni diverse. Il secondo implica il primo, ma il primo non implica necessariamente il secondo.

Risposta lunga: ricorda che l'unico problema di gioco è il seguente problema promettente.

Problema di gioco unico con i parametri k ∈ℕ e ε , δ > 0 (1− ε > δ )
Istanza : un gioco unico G per giocatore singolo a un round con dimensione dell'etichetta k .
Sì-promessa : G ha valore almeno 1− ε .
Nessuna promessa : G ha valore al massimo δ .

La congettura unica dei giochi afferma:

Congettura di giochi unici. Per tutte le costanti ε e δ , esiste una costante k tale che il problema di gioco unico con i parametri k , ε e δ è NP-completo.

Considera i risultati del seguente modulo:

(1) Supponendo la congettura unica dei giochi, il problema X è NP-difficile.

(Un esempio di X è il problema dell'approssimazione del taglio massimo all'interno di un fattore costante R > R GW .)

La maggior parte (se non tutti) dei risultati del modulo (1) in realtà dimostra il seguente fatto:

(2) Esistono costanti ε e delta tale che per ogni costante k , il problema unico gioco con parametri k , ε e δ è riducibile a X .

È facile verificare che (2) implichi (1). Tuttavia, (2) implica più di (1): per esempio, supponiamo che un giorno possiamo dimostrare che una variante della congettura di giochi unica in cui "NP-complete" è sostituita da " GI -hard". Quindi (2) implica che X è anche GI-difficile. (1) non implica questo. Questo è il motivo per cui alcune persone ritengono che l'affermazione (1) non sia il modo migliore per affermare il teorema: (1) è più debole di ciò che è effettivamente dimostrato e la differenza potrebbe essere importante.

Sebbene (2) sia un'affermazione più accurata di ciò che è dimostrato, è chiaramente un boccone. Questo è il motivo per cui le persone hanno escogitato una scorciatoia per questo: "Problema X è UG-difficile" è una scorciatoia per (2).


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Questo sembra analogo alle due affermazioni: "(1) Supponendo P! = NP, X non ha un algoritmo di tempo polinomiale" e "(2) X è NP-difficile." (2) implica (1), ma (1) non implica (2). In pratica, di solito dimostriamo (2), sebbene spesso diciamo (1) di spiegare il significato della prova a persone che non hanno familiarità con la durezza NP.
Robin Kothari,

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@TsuyoshiIto potresti considerare di accettare la tua risposta :). In realtà è incoraggiato, e questo è un buon riferimento q / a per i futuri googler.
Suresh Venkat,

@Suresh: grazie. Probabilmente lo farò, ma il sistema mi richiede di attendere 48 ore dopo aver pubblicato la domanda prima di accettare la mia risposta.
Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: Ah non me ne sono reso conto. suona bene.
Suresh Venkat,

@TsuyoshiIto: bella risposta chiara! scusate non ho dato seguito alla vostra richiesta di rendere i miei commenti una risposta all'altra domanda: ero partito occupato, in parte pigro, in parte non pensavo che la domanda rivista fosse una domanda.
Sasho Nikolov,
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