Generazione di grafici della circonferenza tale che i cicli minimi formino una copertura a doppio bordo

Lascia che . Ho bisogno di generare semplici grafici della circonferenza tale che l'insieme di tutti i -cycles formi una copertura del doppio bordo di (cioè, ogni spigolo sia condiviso esattamente da due -cycles), e tale che l'intersezione di qualsiasi due -cycles è un vertice, un bordo o vuoto. I grafici generati dovrebbero essere arbitrariamente grandi.$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

Il metodo di generazione dovrebbe avere una certa casualità, ma non in un senso banale. Voglio essere in grado di ottenere grafici abbastanza complicati. Ad esempio, immagina una griglia rettangolare nel piano. Se identifichiamo i lati opposti del rettangolo di delimitazione, otteniamo un grafico che soddisfa tutti i requisiti di cui sopra per . Qualificherei questo grafico come semplice.$n\times m$$g=4$

Esiste un tale metodo?

Sono anche apprezzati eventuali riferimenti a problemi simili.

La mia idea per metà era un po 'troppo ambiziosa. Lo sto includendo di seguito per riferimento, ma la condizione di distanza che ho specificato non è in realtà sufficiente per garantire una grande circonferenza.

Esistono mappe di superficie arbitrariamente grandi e altamente simmetriche con grande circonferenza, ma le prove di esistenza pubblicate sono in gran parte basate sulla teoria dei gruppi piuttosto che sulla topologia o sulla geometria in sé.

In particolare, per qualsiasi numero intero , , tale che , esiste una mappa di superficie regolare in cui ogni faccia ha bordi, ogni vertice ha grado e ogni non contrattabile il ciclo sulla superficie attraversa almeno i bordi . Qui "regolare" significa sia che ogni vertice ha lo stesso grado sia che per ogni coppia di bordi diretti c'è un automorfismo dell'incorporamento che invia l'altro bordo diretto. L'impostazione di abbastanza grande in questa costruzione garantisce che la circonferenza del grafico sia . Vedi, ad esempio:d r 1 / g + 1 / d < 1 / 2 g d r r $g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$$g$

• Roman Nedela e Martin Škoviera. Mappe regolari su superfici con ampia larghezza planare. European J. Combinatorics 22 (2): 243--262, 2001.

• Jozef Širáň. Rappresentazioni di gruppi triangolari e costruzioni di mappe regolari. Proc. London Math. Soc. 82 (3): 513-532, 2001.

Una volta che hai una di queste mappe di superficie, puoi costruire mappe più grandi con la stessa circonferenza e grado costruendo spazi di copertura.

Ecco un modo (mezzo cotto) per generare tali grafici. Sia un grafico piano con le seguenti proprietà:$G$

• Ogni faccia delimitata di ha esattamente bordi.$G$$g$

• La faccia esterna di ha un numero pari di bordi; chiamare questi i bordi di contorno di . (Questa condizione vale automaticamente quando è pari; se è dispari, deve avere un numero pari di facce limitate.)G g g $G$$G$$g$$g$$G$

• È possibile accoppiare i bordi di confine di , in modo che la distanza in da qualsiasi limite di confine al suo partner sia almeno . Questa condizione non è effettivamente sufficiente; le condizioni esatte necessarie qui non sono chiare.G g$G$$G$$g$

Grafici di piano arbitrariamente grandi con queste proprietà possono essere costruiti prendendo una porzione finita sufficientemente grande di una piastrellatura regolare del piano iperbolico mediante -goni$g$ .

Infine, per ottenere un grafico di superficie cui ogni faccia ha lunghezza , identifica le coppie di bordi di confine in secondo l'abbinamento sopra descritto. Le facce delimitate di diventano le facce di un incastro cellulare di su una superficie chiusa senza confini. La condizione della distanza sull'associazione garantisce che la circonferenza di sia  . g G G G ′ G ′$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

Scegliendo e l'associazione più attentamente, una volta puoi costruire grafici - regolari arbitrariamente grandi che soddisfino la tua condizione di circonferenza, per qualsiasi numero e tale che . Anche all'interno di questi vincoli, la costruzione ha molti gradi di libertà.d d g 1 / d + 1 / g < 1 /$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$