Distinguere tra

Dato uno stato quantico scelto uniformemente a caso da un insieme di stati misti , qual è la massima probabilità media di identificare correttamente ? $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

Questo problema può essere trasformato in un problema di distinguibilità in due stati considerando il problema di distinguere da $\rho_A$ . $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

So che per due stati quantistici il problema ha una buona soluzione in termini di distanza di traccia tra gli stati quando si minimizza la massima probabilità di errore piuttosto che minimizzare la probabilità media di errore, e speravo che potesse esserci qualcosa di simile per questo caso. Ovviamente è possibile scrivere la probabilità in termini di ottimizzazione su POVM, ma spero in qualcosa in cui l'ottimizzazione è già stata eseguita.

So che esiste un'enorme letteratura sulla distinguibilità degli stati quantistici e negli ultimi giorni ho letto molti articoli cercando di trovare la risposta a questa domanda, ma ho difficoltà a trovare la risposta a questo particolare variazione del problema. Spero che qualcuno che conosca meglio la letteratura possa risparmiarmi del tempo.

A rigor di termini, non ho bisogno della probabilità esatta, farebbe un buon limite superiore. Tuttavia, la differenza tra uno stato e lo stato massimamente misto è piuttosto piccola, quindi il limite dovrebbe essere utile in quel limite.

— Joe Fitzsimons
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Poiché la probabilità di una risposta corretta è il valore massimo di un programma semidefinito, è spesso utile considerare il doppio per ottenere un limite superiore.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: In effetti, ma immaginavo che questo problema fosse stato ben studiato e che potesse esserci un risultato fisso.

— Joe Fitzsimons,

Sai se le domande analoghe per le distribuzioni di probabilità classiche hanno una buona risposta? Il risultato della "distanza di traccia" che menzioni è una generalizzazione dell'uso della "distanza statistica" (nota anche come "distanza di variazione totale") per le distribuzioni classiche. [Nel caso classico, la strategia naturale è quella di scegliere la distribuzione che più probabilmente ha generato un output particolare. Puoi scrivere un modulo chiuso per la sua probabilità di successo, anche se non so se possa essere espresso in termini di una quantità semplice (come la distanza media tra le distribuzioni).]

— Adam Smith,

@AdamSmith: sembra classicamente che puoi semplicemente ponderare ogni distribuzione in base alla sua probabilità di verificarsi e quindi scegliere quella che più probabilmente darà il risultato che osservi.

— Joe Fitzsimons,

Come accennato, è possibile determinare numericamente la probabilità di successo medio ottimale, che può essere eseguita in modo efficiente tramite la programmazione semidefinita (vedere ad esempio questo documento di Eldar, Megretski e Verghese o queste note di conferenza di John Watrous), ma nessuna espressione in forma chiusa è conosciuto.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— Ashley Montanaro
fonte

Fantastico, grazie Ashley. Il limite inferiore sulla probabilità di errore in termini di distanza di traccia è praticamente quello che stavo cercando. In realtà, il mio piano di backup se non avessi avuto una buona risposta qui sarebbe stato inviarti un'e-mail, poiché so che hai lavorato su queste cose.

— Joe Fitzsimons,

Esistono limiti che funzionano bene nel limite della probabilità che l'errore sia vicino a 1? La distanza di traccia uno sembra raggiungere il massimo a 1/2. Sto provando la fedeltà al momento, ma non credo di poter effettivamente calcolare la fedeltà nel problema su cui sto lavorando, e i limiti che dai sembrano molto sensibili agli errori additivi.

— Joe Fitzsimons,

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