Una versione semplificata del gioco di carte Winner

Ho chiesto questo problema in MathOverflow , senza alcuna risposta soddisfacente.

Considera il seguente gioco a due giocatori, che è una semplificazione del gioco di carte chiamato Vincitore . (La seguente formulazione è stata presa da un commento di Guillaume Brunerie su MathOverflow.)

Ci sono due giocatori A e B. Ogni giocatore ha un mazzo di carte (un sottoinsieme di ), visibili da entrambi i giocatori. Lo scopo del gioco è sbarazzarsi delle proprie carte. Il primo giocatore gioca qualsiasi carta sul tavolo, quindi l'altro giocatore deve giocare una carta (rigorosamente) più grande, e così via fino a quando uno dei giocatori non può giocare o decide di passare. Quindi le carte sul tavolo vengono scartate e l'altro giocatore ricomincia giocando una qualsiasi carta (che sarà seguita da una carta più grande). E così via fino a quando uno dei due giocatori esaurisce le carte e vince la partita. $\{1,\dots,n\}$

Voglio conoscere la migliore strategia per i giocatori (se può vincere).

Definizione formale

Indica con la configurazione del gioco in cui l'insieme delle carte del primo giocatore è , l'insieme delle carte del secondo giocatore è e la carta più grande sul tavolo è , dove significa che non ci sono carte sul tavolo. Vorrei calcolare un algoritmo, dato , se il primo giocatore ha una strategia vincente nella configurazione . $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

Formalmente, vorrei un algoritmo per calcolare la funzione definita come segue: $f$

Lascia che , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

Funzione $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

dove

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

Strategie sbagliate

Ecco alcune strategie sbagliate:

Gioca sempre la carta più piccola. Sia , la strategia vincente per il giocatore A nella configurazione è giocare la carta . Se il giocatore A gioca la carta 1, perderà. $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
Gioca la carta più piccola a meno che l'altro giocatore non abbia una sola carta. È una strategia più forte della strategia 1, ma è anche sbagliata. Pensa solo alla configurazione . Se il giocatore A usa la strategia 2, perderà: , quindi il giocatore A perde. $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
fonte

Questa domanda è interessante, ma cerca di renderla il più leggibile possibile. Ad esempio, non devi copiare il commento di Guillaume Brunerie alla lettera, inclusa la parte "Penso che sia A che dovrebbe essere conosciuta al giocatore ...", che è diversa dall'assunto nella tua domanda e può solo confondere i lettori. Inoltre, considera di rimuovere la prima formulazione delle tre: la seconda formulazione fornisce una comprensione intuitiva, la terza fornisce una definizione formale e non credo che la prima abbia uno scopo.

— Tsuyoshi Ito,

Forse il modo migliore per analizzarlo è scrivere un programma che capisca le mosse ottimali per qualsiasi posizione e cercare schemi. Non vi è alcuna ragione a priori che questo gioco debba avere una buona strategia.

— Peter Shor,

Vorrei iniziare una strategia con un piccolo numero di carte e lavorare da lì. Ad esempio, se ogni giocatore ha 2 carte, allora vince la carta più alta, indipendentemente da quale giocatore ha il turno successivo. Gioca la carta più alta, deve passare l'altro giocatore, quindi gioca la sua ultima carta.

— Joe,

Qualcuno può aiutarmi a ridescrivere la descrizione del GB per seguire PostScript 1? Mi dispiace non essere un madrelingua e descrivere un gioco così complesso è fuori dalle mie capacità.

— Yai0Phah,

@Tsuyoshi: se il giocatore A gioca sempre la carta più piccola, vince il giocatore B. Se il giocatore A gioca la carta 1 e non gioca sempre la carta più piccola, il giocatore A può vincere. Ciò significa che c'è un piccolo controesempio alla strategia 2 sempre vincente.

— Peter Shor,

Questo dovrebbe probabilmente essere un commento, ma è troppo lungo.

Un gioco correlato è stato studiato da Jeff Kahn, Jeff Lagarias e Hans Witsenhausen, nella serie di articoli Gioco di carte a due persone a semi singoli I, II, III e On Laskar's Card Game. Nel gioco che hanno studiato, ogni giocatore ha carte, distribuite da carte numerate . Ogni presa consiste di due carte, la carta più alta vince la presa e il vincitore conduce. L'obiettivo è quello di prendere più trucchi. $n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

Hanno dimostrato una serie di fatti interessanti sulla strategia ottimale, ma non sono stati in grado di trovare un algoritmo efficiente per un gioco ottimale e non sono stati in grado di dimostrare che era NP-difficile.

Per il gioco misère , in cui ogni persona cerca di fare il minor numero di prese, è stata in grado di fornire la strategia ottimale.

Per la maggior parte, questi risultati sono stati ottenuti esaminando prima i risultati di un programma per computer che ha trovato la strategia ottimale per le piccole istanze, quindi alla ricerca di schemi per ottenere congetture e infine dimostrando queste congetture. Sospetto che questo sarebbe anche un approccio fruttuoso da adottare per il gioco del PO.

— Peter Shor
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