Una domanda sulle estensioni lineari di ordini parziali

Se ti viene data una raccolta di ordini parziali, l'ordinamento topologico ti dirà se esiste un'estensione della raccolta a un ordine totale (un'estensione in questo caso è un ordine totale coerente con ciascuno degli ordini parziali).

Ho riscontrato una variazione:

Fissare un set . Ti vengono date sequenze di elementi disegnati da senza ripetizione (le sequenze hanno una lunghezza compresa tra 1 e ). $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

C'è un modo per fissare gli orientamenti per ciascuna delle sequenze (avanti o indietro) in modo che la raccolta di catene risultante (vista come un ordine parziale) ammetta un'estensione?

Questo problema è noto?

Nota: l'orientamento è scelto per un'intera sequenza. Quindi, se la sequenza è , puoi tenerla in quel modo o capovolgerla a , ma non puoi fare nient'altro. $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— Suresh Venkat
fonte

2

$2$

Ehm, ogni grafico non orientato può essere orientato ad essere un DAG. Basta scegliere un ordinamento dei vertici e usare quell'ordinamento per orientare i bordi.

— David Eppstein,

Hai ragione ovviamente, io non sto pensando direttamente.

— Chandra Chekuri,

Nella mia variazione ogni sottosequenza ha una lunghezza esattamente di 4, quindi la risposta di Yury entra in gioco. La mia unica speranza a questo punto è che le sottosequenze abbiano una struttura molto speciale e siano correlate tra loro, quindi forse qualcosa di specifico al problema potrebbe aiutare. Ma non c'è un martello generale.

— Suresh Venkat,

$u$ $v$ $w$

L'algoritmo di approssimazione più noto per il problema, di Chor e Sudan, soddisfa 1/2 di tutti i vincoli se l'istanza è completamente soddisfacente.

[1] J. Opantry. Total Ordering Problem, SIAM Journal on Computing , 8 (1): 111-114, febbraio 1979.

[2] B. Chor e M. Sudan. Un approccio geometrico alla reciprocità , SIAM Journal on Discrete Mathematics, 11 (4): 511-523, novembre 1998.

Modifiche: chiarito che la versione decisionale del problema è NP-difficile.

— Yury
fonte

Sì, ciò significa che anche il problema decisionale relativo alla conformità di tutti i vincoli è difficile?

— Chandra Chekuri,

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$