Comprendere una prova di progettazione del meccanismo

Ho lottato con i dettagli tecnici di una prova relativa alla teoria delle aste in questo documento: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

In particolare, Teorema 2.5: Le condizioni necessarie e sufficienti per un meccanismo veritiero.

Ancora più in particolare, la direzione in avanti della prova, data a pagina 6. La definizione di un valore veritiera , e un generale, probabilmente falsa, il valore (ad esempio, un bid) come , l'autore continua a postulato due ulteriori quantità, e . $v_i$ $b_i$ $z_1$ $z_2$

Stabilisce quindi che , , che produce una disuguaglianza basata sul lavoro precedente del documento. $v_i = z_1$ $b_i = z_2$

Stabilisce inoltre che , , che produce una disuguaglianza simile ma diversa in base al lavoro precedente del documento. $v_i = z_2$ $b_i = z_1$

Va bene, abbastanza giusto. Quindi sottrae una disuguaglianza dall'altra e procede a ricavare il risultato desiderato sulla base della conseguente algebra. Non capisco perché questa sottrazione sia giustificata: sembra sottrarre due disuguaglianze basate su ipotesi completamente diverse (in realtà opposte), e ogni volta che lo vedo vengo gettato violentemente dal filo del pensiero.

Sono abbastanza sicuro di aver visto questo approccio di base (il libro di Shoham e Leyton-Brown? Non ce l'ho a portata di mano da controllare), quindi sembra essere un'idea comune, ma non riesco a superarlo. Qualcuno può aiutarmi a capire perché questo è valido o spiegarmi cosa mi sto perdendo?

(Ho provato a dimostrare il risultato desiderato assumendo tre valori: un valore reale e due offerte, e ) per ottenere il risultato desiderato, ma anche fallito. Quindi potrebbe non solo essere comune, ma è necessario farlo come l'autore. Ma ancora non lo capisco.) $v_i$ $b_1$ $b_2$

Aggiornamento: sapevo di aver visto qualcosa di simile nel libro di Shoham e Leyton-Brown . Non è esattamente lo stesso, ma è molto simile e tratta della stessa equazione e materia. È il caso 1 del teorema 10.4.3.

Partendo dal contesto di meccanismi veritiere, in primo luogo assumere una veritiera e falso e derivare che il pagamento in base è minore o uguale al pagamento basato su , per esempio, . Hanno poi assumono il contrario, un sincero e un falso , e derivano il risultato opposto, che il pagamento basata su $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ è inferiore al pagamento basato su , ad es. . Va bene, ha senso. $v_i$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Hanno poi sostengono che i pagamenti basati su e devono essere uguali, come se stanno dicendo che e sono simultaneamente vere, anche se sono il risultato di ipotesi non solo diverse, ma opposte. $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

gt.game-theory

— Novak
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Risposte:

$v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i$

Il punto è che la veridicità impone contemporaneamente diverse disparità diverse sullo stesso meccanismo: una per ogni tipo che un agente potrebbe avere e per ogni deviazione che potrebbe prendere in considerazione. Tutti tengono. Questa dimostrazione utilizza solo due di queste disuguaglianze

— Aaron Roth
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Penso che finalmente sto iniziando a capirlo. In effetti, sapere che la prova è corretta (e perché) mi impressiona ancora di più di quanto sia rigoroso e potente il concetto di "verità". Grazie.

— Novak,

Penso che ciò che vuoi sia la seguente proposta.

$V$ $A$ $f:V^n\to A$ $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$ $i,x_i,y_i,v_{−i}$

x_{i} (f (x_{i}, v_{- i})) - p_{i} (x_{i}, v_{- i}) \geq x_{i} (f (y_{i}, v_{- i})) - p_{i} (y_{i}, v_{- i}) .

$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$

i, v_{i}, v_{i}^{'}, v_{- i}

$i,v_i,v'_i,v_{-i}$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) .

$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$

$x_i=v_i$ $y_i=v'_i$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) \geq v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) .

$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$

x_{i} = v_{i}

$x_i=v_i$

y_{i} = v_{i}^{'}

$y_i=v'_i$

v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) .

$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$

L'interpretazione progettuale del meccanismo di questa proposta è che ogni meccanismo compatibile con gli incentivi (cioè a prova di strategia, cioè veritiero) ha "debole monotonia".

Per qualche ragione, è convenzionale discutere facendo riferimento a vere offerte e bugie. In questo contesto, "vero" e "menzogna" sono solo nomi di variabili, come "x" e "y". Va bene usare lo stesso nome per riferirsi a cose diverse in argomenti separati, perché non esiste alcuna differenza formale tra una vera offerta e una bugia.

— Colin McQuillan
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Questa è la proposta in questione. (Anche se penso che tu abbia un refuso nella terza riga della tua prova, i compiti v_i dovrebbero essere scambiati dalla prima riga.) Sono ancora confuso sul perché sia accettabile aggiungere le due disuguaglianze quando derivano da ipotesi diverse. Sì, non esiste alcuna differenza formale tra un'offerta vera e una falsa; sono entrambi numeri. Ma sono (o per essere precisi, possono essere) numeri diversi .

— Novak,

g (a, b) = 1

$g(a,b)=1$

a, b

$a,b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y)-g(y,x)=0$

x, y

$x,y$

Sì. Ma lasciatemi mordicchiarlo nel contesto del design del meccanismo per un po '. (E allo stesso tempo aggiorna il mio post originale in Mathjax e aggiungi il caso simile che ho estratto da Shoham e Leyton-Brown.)

— Novak,

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

g (a, b) = 1

$g(a,b) = 1$

a

$a$

b

$b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y) - g(y,x) = 0$

x

$x$

y

$y$