Linguaggi unari riconosciuti da contatori automatici deterministici a due vie

Gli automi deterministici a due vie a un contatore ( 2dca) (Petersen, 1994) sono in grado di riconoscere il seguente linguaggio unario:

Esiste un altro linguaggio unario non banale riconosciuto da 2dca?

Si noti che non è ancora noto se i 2dca possano riconoscere ?$\mathtt{SQUARE} = \lbrace 0^{n^2} \mid n \geq 0 \rbrace$

DEFINIZIONE: un 2dca è un automa finito deterministico a due vie con un contatore. Un 2dca può verificare se il valore del contatore è zero o meno e incrementare o decrementare il valore del contatore di 1 in ogni passaggio.

Questa è solo un'idea che mi è venuta in mente durante la lettura di Marvin L. Minsky, "Insolvibilità ricorsiva del problema dei tag di Post e altri argomenti in Theory of Turing Machines"; in particolare il famoso teorema Ia:

Teorema Ia: possiamo rappresentare qualsiasi funzione ricorsiva parziale da un programma che opera su due numeri interi S 1 e S 2 usando le istruzioni I j dei moduli: (i) AGGIUNGI 1 a S j e vai a I j 1 ( ii) SUBTRATTO 1 da S j , se S j ≠ 0 e vai a I j 1 , altrimenti vai a I j 2 Cioè, possiamo costruire un tale programma che inizia con S $f(n)$$S_1$$S_2$$I_j$
$S_j$$I_{j_1}$
$S_j$$S_j \neq 0$$I_{j_1}$$I_{j_2}$
e S 2 = 0 e infine si ferma con S 1 = 2 f ( n ) e S 2 = $S_1 = 2^n$$S_2 = 0$$S_1 = 2^{f(n)}$$S_2 = 0$

Se hai un DFA a due vie con un contatore su un nastro (semi) infinito in cui l'input è dato in modo unario: il DFA può:$\$1^{2^n}000...$

1. leggere l'input unario (e memorizzarlo nel contatore);
2. lavorare sulla parte del nastro e utilizzare la distanza da 1 s come secondo contatore.$0^\infty$$1$

così può simulare una macchina completa a due contatori di Turing.

Ora, se si dispone di una funzione ricorsiva che viene eseguita nel tempo T ( n ) su una macchina Turing standard, un DFA a due vie con un contatore che inizia sul nastro finito $ 1 m$f(n)$$T(n)$ $\$1^m\$ \;$(dove e T ′ ( n ) ≫ T ( n ) ) può:$m = 2^n3^{T'(n)}$$T'(n) \gg T(n)$

1. leggere l'input unario (e memorizzarlo nel contatore);
2. ritorna al simbolo più a sinistra;
3. dividere il contatore per 3 fino a quando il contatore contiene in questo modo: andare a destra in loop dagli stati q z 0 , q z 1 , q z 2 e sottrarre 1; se il contatore raggiunge 0 nello stato q z 0 vai al simbolo più a sinistra aggiungendo +1 e continua il ciclo di divisione, altrimenti aggiungi 1 (se nello stato q z 1 ) o 2 (se nello stato q z 2 ) e vai al simbolo più a sinistra aggiungendo + 3 (ovvero recuperare il valore precedente del contatore non divisibile per 3) e procedere con il passaggio 4 .;$2^n$$q_{z_0}, q_{z_1}, q_{z_2}$$q_{z_0}$$q_{z_1}$$q_{z_2}$
4. a questo punto il contatore contiene ;$2^n$
5. calcola usando lo spazio T ′ ( n ) disponibile a destra come secondo contatore (il valore del secondo contatore è la distanza dal simbolo più a sinistra $ ).$2^{f(n)}$$T'(n)$$\$$

Quindi, con la speciale codifica di input descritta sopra che gli dà abbastanza spazio sul nastro finito, un DFA a due vie con un contatore e un alfabeto unario può calcolare ogni funzione ricorsiva.

Se l'approccio è corretto, sarebbe interessante ragionare su come scegliere o quando è abbastanza per prendere una grande dispari k » 2 e codificare l'ingresso come 1 m , m = 2 n k $T'(n) \gg T(n)$$k \gg 2$$1^m$$m = 2^n k^n$

Per non banale, suppongo che intendi una lingua L che non può essere accettata da un 1dca. Qui sembra essere una tale lingua:

CENTRO = {w | w è superiore a {0,1} * e w = x1y per alcuni x, y tali che | x | = | y |}

Questa lingua non può essere accettata da 1dca, ma PU CAN essere accettata da 1nca. Può essere accettato da un 2dca. I dettagli sono lasciati come esercizio.