Parametricità ed eliminazioni proiettive per i record dipendenti

UN \times B ≜ \forall α . (UN \to B \to α) \to α

$A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha$

π_{1} : A \times B \to A

$\pi_1 : A \times B \to A$

π_{2} : A \times B \to B

$\pi_2 : A \times B \to B$

Questo non è così sorprendente, anche se la lettura naturale del tipo F è di una coppia con un'eliminazione in stile , perché i due tipi di coppia sono interderivabili nella logica intuizionistica. $\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; e$

Ora, in una teoria dei tipi dipendenti con quantificazione impredicativa, è possibile seguire lo stesso modello per codificare un tipo di record dipendente $\Sigma x:A.\; B[x]$ as

Σ X : UN . B [X] ≜ \forall α . (Π X : UN . B [X] \to α) \to α

$\Sigma x:A.\;B[x] \triangleq \forall\alpha.\; (\Pi x:A.\; B[x] \to \alpha) \to \alpha$ Ma in questo caso, non esiste un modo semplice per definire gli eliminatori proiettivi

π_{1} : Σ x : A . B [x] \to A

$\pi_1 : \Sigma x:A.\;B[x] \to A$ e

π_{2} : Π p : (Σ x : A . B [x]) . B [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\Sigma x:A.\;B[x]).\; B[\pi_1\,p]$ .

Tuttavia, se la teoria dei tipi è parametrica, è possibile utilizzare la parametricità per mostrare che $\pi_2$ è definibile. Questo sembra essere noto --- vedi, ad esempio, questo sviluppo Agda di Dan Doel in cui lo deriva senza commenti --- ma non riesco a trovare un riferimento per questo fatto.

Qualcuno sa un riferimento per il fatto che la parametricità consente di definire eliminazioni proiettive per tipi dipendenti?

EDIT: La cosa più vicina che ho trovato finora è questo articolo del 2001 di Herman Geuvers, L' induzione non è derivabile nella teoria del tipo dipendente dal secondo ordine , in cui dimostra che non puoi farlo senza parametricità.

— Neel Krishnaswami
fonte

Non posso dire da questo post quale sia la domanda. (Non conosco nulla della zona e non lo saprei comunque, ma vorrei essere in grado di articolare la domanda)

— Vijay D,

Ho aggiunto una riga di domanda esplicita sopra la modifica. questo aiuta?

— Neel Krishnaswami,

Sì. All'inizio non ero sicuro che si trattasse solo di una richiesta di riferimento o di una richiesta di prova. Chiederò in giro.

— Vijay D,

Ho avuto una discussione un paio di mesi fa qui: queuea9.wordpress.com/2012/03/28/why-not-lambda-encode-data e credo che il principio di parametricità-> eliminazione sia il folklore / opera originale di Dan. Queste discussioni sono vicine ad altre per quanto riguarda la parametricità di J.-P. Bernardi. Potresti dare un'occhiata agli sviluppi della libreria standard Coq intorno alle somme dipendenti: coq.inria.fr/stdlib/Coq.Init.Specif.html e forse coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.EqdepFacts.html#

— cody

@kvb: non penso che ci sia ancora una risposta positiva. Nella mia recente bozza (con Derek Dreyer) sulla parametricità nel Calcolo delle costruzioni ( mpi-sws.org/~neelk/internalizing-parametricity.pdf ), mostriamo che la parametricità rende suono aggiungere assiomi che ti permettono di ottenere forti elimi della codifica della Chiesa. Tuttavia, non abbiamo ancora una buona storia su come internalizzare la parametricità in un modo che calcola bene (molto probabilmente abbiamo bisogno di integrare i metodi di JP Bernardy nella nostra teoria dei tipi). Questo non sembra impossibile, ma non sappiamo ancora come.

— Neel Krishnaswami,

Ho appena parlato con Dan Doel e mi ha spiegato che in realtà il suo riferimento era Neel Krishnaswami. Ha visto un tuo commento su n-cafe da parte tua sul fatto che si potesse fare una forte induzione usando la parametricità, quindi è andato avanti e lo ha fatto come un esercizio, non rendendosi conto che farlo per Sigma era apparentemente un nuovo risultato.

La citazione precisa: "Il mio riferimento era lui. Pensavo che avesse detto che era possibile, quindi l'ho fatto."

— SCLV
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