Numerazione del sottoinsieme

Correzione $k\ge5$ . Per ogni abbastanza grande $n$, vorremmo etichettare tutti i sottoinsiemi di $\{1..n\}$ di dimensioni esattamente $n/k$ da numeri interi positivi da $\{1...T\}$ . Vorremmo che questa etichettatura soddisfasse la seguente proprietà: esiste un insieme $S$ di numeri interi, st

1. Se sottoinsiemi di dimensione n / k non si intersecano (cioè l'unione di questi set formano tutto l'insieme { 1 .. n } ), allora la somma delle loro etichette è in S .$k$$n/k$$\{1..n\}$$S$
2. In caso contrario, la somma delle loro etichette non è in .$S$

Esiste un e un'etichettatura, st T ⋅ | S | = O ( 1,99 n ) ?$k\ge5$$T\cdot|S|=O(1.99^n)$

Ad esempio, per qualsiasi possiamo etichettare i sottoinsiemi nel modo seguente. T = 2 n , ogni sottoinsieme ha n bit nel loro numero: il primo bit è uguale a 1 se il sottoinsieme contiene 1 , il secondo bit è uguale a 1 se il sottoinsieme contiene 2 ecc. È facile vedere che S contiene solo un elemento 2 n - 1 . Ma qui T ⋅ | S | = Θ ( 2 n ) . Possiamo farlo meglio?$k$$T=2^n$$n$$1$$1$$1$$2$$S$$2^n-1$$T\cdot|S|=\Theta(2^n)$

Una risposta parziale è che anche per tale etichettatura non esiste.$k$

Per un set di sottoinsiemi S 1 , … , S t (di dimensione n / k , f ( S 1 , … , S t ) indica la somma dei loro valori).$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

Reclamo: se e S 1 ∪ … ∪ S t ≠ S ′ 1 ∪ … ∪ S ′ t allora f ( S 1 , … , S t ) ≠ f ( S ′ 1 , … , S ′ t ) .$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

Per capire perché l'affermazione è vera, scegli un insieme tale che ⋃ k i = 1 S i = [ n ] ma poi uno di questi nuovi insiemi interseca uno degli S ′ i così f ( S 1 , … , S k ) non può essere uguale a f ( S ′ 1 , … , S ′ t , $S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$.$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

Corollario: .$T > {n \choose tn/k}/t$

L'impostazione di fornisce un limite inferiore di .$t = k/2$$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

Nota che per dispari si ottiene un limite inferiore dell'ordine . Già per abbiamo quindi l'esponente tende a abbastanza rapidamente.$k$${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

Immagino che non esista nemmeno una soluzione per dispari ma non sono sicuro di come dimostrarlo.$k$

Questa non è una risposta, solo una spiegazione del perché per k = 2 non può esistere tale etichettatura (sono sicuro che questo era già noto ad Alex, quindi questo è solo un articolo scritto per altri lettori come me ...)

Per k = 2 abbiamo . Questo perché ci sono sottoinsiemi di dimensioni n / 2. Se uno qualsiasi ha la stessa etichetta, ad esempio A e B, allora la somma dell'etichetta di A e il suo complemento non è in S, oppure la somma dell'etichetta di B e il complemento di A è in S. Questo implica (per n grande).($T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$T≥(${n \choose n/2}$$T\ge {n \choose n/2}$

Per ka più grandi un argomento simile mostra che tutte le etichette devono essere diverse, ma ciò dà solo un limite inferiore esponenziale più debole. Quindi già k = 3 sembra essere sconosciuto.