Problemi NP-difficili sugli alberi

Diversi problemi di ottimizzazione noti per essere NP-difficili nei grafici generali sono banalmente risolvibili nel tempo polinomiale (alcuni anche in tempo lineare) quando il grafico di input è un albero. Esempi includono copertura minima del vertice, set massimo indipendente, isomorfismo del sottografo. Nomina alcuni problemi di ottimizzazione naturale che rimangono NP-difficili sugli alberi.

Puoi trovare esempi "naturali" e "ben noti" di problemi grafici che sono difficili anche se limitati agli alberi dal nostro riferimento standard . Esempi:

• Flusso di k -multicommodity integrale ,
• Sottostruttura integrata comune ,
• Sottostruttura comune .

(Questi sono formulati come problemi dell'albero, ma è possibile generalizzarli in grafici arbitrari. Quindi le formulazioni di cui sopra sono ottenute come caso speciale quando si limita l'input agli alberi.)

Una ricetta più generale per generare problemi che sono difficili per gli alberi: prendi qualsiasi problema NP-difficile relativo a supersequenze , superstringhe , sottostringhe , ecc. Quindi reinterpreta una stringa come un grafico percorso etichettato. Quindi poni la domanda analoga per i grafici generali (sottosequenza ≈ grafico minore, sottostringa ≈ sottografo). E sappiamo che il problema è NP-difficile anche sugli alberi (e sui sentieri).

Ci sono anche molti problemi che sono difficili per le stelle ponderate, per riduzione dal problema della somma parziale. Un esempio naturale è:

• TSP con due viaggiatori : dato un grafico ponderato per il bordo e un limite , possiamo trovare due passi chiusi e in tale che ogni cammino abbia un peso totale al massimo e ogni nodo di sia coperto da almeno uno camminare?W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Ancora una volta, è facile inventare variazioni del tema.

È NP-completo per determinare se un albero può essere incorporato nella griglia intera bidimensionale, con i vertici dell'albero posizionati su punti della griglia distinti e i bordi dell'albero posizionati sui bordi della griglia.

Vedi ad esempio Gregori, IPL 1989 .

Il problema del gruppo Steiner è un buon esempio. L'input di questo problema è un grafico ponderato non orientato ai bordi e k gruppi di vertici . L'obiettivo è trovare un albero di peso minimo che contenga almeno un vertice di ciascun gruppo. È facile vedere che il problema Set Cover è un caso speciale anche quando G è una stella. Pertanto, il problema è difficile da approssimare all'interno di un fattore meno che P = NP. Inoltre, Halperin e Krauthgamer hanno dimostrato che il problema è difficile da approssimare all'interno di un fattore per qualsiasi fisso meno che NP non abbia randomizzato algoritmi di tempo quasi polinomiale ( vedere l'articolo per una dichiarazione precisa). C'è unaS 1 , S 2 , … , S $G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$O ( log 2 - ϵ n ) ϵ > 0 O ( log 2 n $O(\log n)$$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$ approssimazione sugli alberi di Garg, Konjevod e Ravi.

Uno dei problemi più difficili sugli alberi è il problema della larghezza di banda minima. È duro su alberi di massimo grado 3. Inoltre è NP-duro su un bruco circolare della lunghezza dei capelli 1.$NP$

Riferimenti:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S.Johnson e Donald E. Knuth. Risultati di complessità per minimizzare la larghezza di banda. SIAM J. Appl. Math., 34 (3): 477-495, 1978.

Burkhard Monien. Il problema di minimizzazione della larghezza di banda per i bruchi con lunghezza dei capelli 3 è NP-completo. SIAM J. Algebraic Discrete Methods, 7 (4): 505-512, 1986.

W. Unger. La complessità dell'approssimazione del problema della larghezza di banda. In FOCS, pagine 82–91, 1998

Il problema del multicut del bordo non ponderato è il seguente: Dato un grafico non orientato , una raccolta di coppie di vertici di e un numero intero positivo , trova se c'è un sottoinsieme di al massimo bordi in cui rimozione disconnette ogni coppia di vertici nella raccolta.G k S k $G$$G$$k$$S$$k$$G$

Questo problema è NP-hard (e MAX SNP-hard) sulle stelle [ 1 ].

[ 1 ] Garg, Vazirani e Yannakakis, algoritmi di approssimazione Primal-Dual per flusso integrale e Multicut in Trees , Algorithmica, 18 (1), pp 3-20, 1997.

Il problema dei pompieri ha ricevuto recentemente una buona dose di attenzione ed è (sorprendentemente) NP-duro sugli alberi di massimo grado 3 . In realtà è una domanda abbastanza naturale, descritta come segue:

Un incendio scoppia alla radice dell'albero (o più in generale, un vertice specificato in un grafico). Ad ogni passo, il vigile del fuoco protegge un vertice non bruciante, dopo di che il fuoco si diffonde ad ogni vicino non protetto. Il processo termina quando non c'è vertice non protetto accanto al fuoco. Esiste una strategia per il pompiere in cui bruciano al massimo vertici?$k$

O una variante, anche NP-difficile : esiste una strategia per il vigile del fuoco in cui nessuna foglia brucia?

Un problema che si potrebbe pensare che NON sarebbe difficile sugli alberi, ma che è, è il problema dei tag di congelamento nella geometria computazionale : in breve, il problema di pianificare i wakeup per i robot a partire da un singolo bot attivo, dove makepan è la misura dei costi.

È noto per essere NP-duro su grafici a stelle ponderati. Tuttavia, è aperto se il problema è NP-difficile nell'aereo. Si potrebbe sostenere che la durezza NP non proviene da "albero", ma da "metrica arbitraria", ma i grafici a stelle forniscono solo uno spazio limitato di metriche.

Dato un albero , una partizione di in livelli (cioè, i bordi di collegano i vertici dei livelli vicini e ), e un numero intero . Puoi permutare i vertici all'interno dei livelli in modo tale che il numero di attraversamento sia al massimo ?V ( T ) k ϕ : V ( T ) → { 1 , … , k } T i i + 1 K $T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

Questo problema è NP-completo, dimostrato da Martin Harrigan e Patrick Healy, -Level Crossing Minimization Is NP-Hard for Trees , WALCOM 2011, LNCS 6552, pagg. 70–76.$k$

La colorazione dell'Impero è NP-dura per gli alberi.

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Un flusso in una rete è confluente se utilizza al massimo un arco in uscita su ciascun nodo. La durezza NP nel determinare un flusso massimo confluente in un albero (di diametro 4, con più pozzi consentiti) è dimostrata in: D. Dressler e M. Strehler, Flussi confluenti capacitati: complessità e algoritmi, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Il problema è NP-difficile (in realtà, è difficile da approssimare) solo quando tutti gli alberi di input hanno un grado illimitato.

Una colorazione armoniosa di un semplice grafico è una colorazione del vertice corretta in modo tale che ogni coppia di colori appaia insieme al massimo su un bordo. Il numero cromatico armonioso di un grafico è il numero minimo di colori in una colorazione armoniosa del grafico. Questo problema di trovare Harmonious Chromatic Number è stato dimostrato essere NP-completo sugli alberi da Edwards e McDiarmid . In effetti, mostrano anche che il problema rimane NP-completo per gli alberi di raggio 3.

$u$$u$

Si noti che nel problema TSP correlato (e più famoso), l'obiettivo è ridurre al minimo la latenza massima, anziché media. Penso che il TRP sia generalmente considerato un problema più complicato (in realtà TSP è in P per metriche sugli alberi).

La durezza NP sugli alberi è stata mostrata nei sitters RA "Il problema della latenza minima è NP-difficile per alberi pesati", ISCO 2002.

Graph Motif è un problema NP-Complete su alberi di massimo grado tre:

Fellows, Fertin, Hermelin and Vialette, Sharp Tractability Borderlines per trovare motivi collegati in grafici colorati di vertici Dispense in Informatica, 2007, Volume 4596/2007, 340-351

C'è un problema (molto generale) che ho visto come parte di un progetto: una variante di questo problema rimane NP-dura anche su grafici con due vertici e un bordo singolo, e una variante diversa è NP-dura sugli alberi. Poiché la durezza NP della prima variante ovviamente non deriva dalla forma del grafico, la seconda è probabilmente più interessante.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Se non si necessita di tutti i download per essere instradati, ma invece cercare di massimizzare la somma delle dimensioni dei file dei download che vengono instradati si può facilmente ridurre sottoinsieme-sum a questo problema: si dispone di un singolo server con grandi quantità di spazio, un un singolo client connesso al server con un bordo con una capacità pari al valore target dell'istanza di somma parziale e per ogni numero intero nell'istanza di somma parziale si crea un file con le stesse dimensioni; il client desidera quindi scaricare tutti questi file.

Una (molto?) Variante più interessante per questa domanda è il caso in cui si tenta di ridurre al minimo il numero di fronti la cui capacità viene superata - forse la rete su cui stiamo lavorando modella i cavi transatlantici di Internet e la sostituzione di un cavo è così costosa che la differenza nel costo dell'aggiornamento a un fattore due più veloce e un aggiornamento a un fattore tre più veloce è trascurabile. Diciamo anche che i posizionamenti dei file sui server sono già indicati e non possono essere modificati, quindi esaminiamo esclusivamente i problemi di routing.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

L'idea è che il client necessita di file univoci per tutti i cluster di server, quindi i bordi che collegano il client ai cluster di server sono già al limite delle loro capacità (le loro capacità sono 1, i file hanno dimensioni 1). Se il client scarica elementi dell'universo da qualsiasi cluster, il bordo che si collega a quel cluster diventa sovraccarico. Dal momento che abbiamo solo bisogno di ridurre al minimo il numerodi sovraccarichi (e non di quanto superiamo le capacità), il client può scaricare il resto degli elementi dell'universo ospitati in quel cluster di server (quindi il resto degli elementi del sottoinsieme corrispondente) senza penalità. Ciò corrisponde quindi al sottoinsieme scelto. Il client desidera scaricare tutti i file nell'universo una volta, quindi l'universo sarà effettivamente coperto e per ridurre al minimo il numero di bordi sovraccaricati, è necessario ridurre al minimo il numero di sottoinsiemi scelti.

Nota che la costruzione di cui sopra produce un grafico ad albero, quindi è un esempio di un problema NP-difficile sugli alberi.

Il problema del flusso instabile. In effetti UFP è difficile anche su un singolo bordo (zaino).

$G(V, E)$$NP$

Formalmente, il problema è:

ISOMORFISMO DEL GRAFICO CONDIZIONATO

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

La colonna della completezza NP cita il manoscritto inedito di Graham e Robinson, "Fattorizzazione isomorfa IX: persino alberi".

DS Johnson, la colonna di completezza NP: una guida in corso, Journal of Algorithms 3 (1982), 288–300

In qualche modo mi è mancato il problema del numero acromatico nell'ultima risposta, ma questo è uno dei problemi più naturali che conosco, che sono NP-completi sugli alberi.

Una colorazione completa di un grafico è una colorazione corretta in modo che vi sia un bordo tra ogni coppia di classi di colori. La colorazione può essere dichiarata in contrasto con Harmonious Coloring, come una colorazione adeguata in modo tale che ogni coppia di colori appaia su almeno un bordo. Inoltre, può essere dichiarato un omomorfismo completo (o completo) di una cricca. Il problema del numero acromatico è un problema di massimizzazione , in cui cerchiamo il maggior numero di classi di colori in una colorazione completa del grafico.

Yannakakis e Gravil hanno dimostrato che questo problema è NP-difficile nel complemento dei grafici bipartiti . Cairnie ed Edwards hanno esteso questo risultato e hanno dimostrato che il problema è NP-completo sugli alberi .

Molto lavoro è stato fatto su questo problema nel campo degli algoritmi di approssimazione [ 3 , 4 , 5 ].

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Il circuito SAT è sugli alberi NPC ?. I vertici interni dell'albero sono etichettati come porte OR / AND. Le foglie sono input. Determina se esiste una serie soddisfacente di ingressi per il circuito da valutare su True.

$2^k - 1$