Complessità del conteggio dei percorsi in un grafico

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Dato un grafico diretto con n nodi in modo tale che ogni vertice abbia esattamente due bordi in uscita e un numero naturale N codificato in binario, due vertici s e t,

Voglio contare il numero di percorsi (non necessariamente semplici) da s a t all'interno di N passaggi.

È un problema # P-difficile? O in generale, qual è la complessità di questo problema?

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— maomao
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6

Hai provato a alimentare la matrice?

— Yuval Filmus,

1

sì, ma la complessità non è ancora nota per quanto posso vedere.

— maomao,

La passeggiata deve finire at o semplicemente visitare t ad un certo punto della passeggiata?

— Tyson Williams,

deve finire in t.

— Maomao,

1

s \neq t

$s \ne t$

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$\Omega(2^N/n)$ $s$ $t$ $2^N$ $s$ $\Omega(N)$ bit da scrivere esplicitamente; questo è esponenziale nella dimensione di input. D'altra parte, l'approccio di alimentazione della matrice ha un polinomio di complessità nella somma delle dimensioni di input e output. Quindi questo sembra posizionarlo esattamente nella classe dei problemi di conteggio che hanno output di dimensioni esponenziali e possono essere risolti in modo deterministico nel tempo polinomiale nelle loro dimensioni di output, qualunque sia la notazione per quella classe (è una sorta di conteggio analogico per EXP, e sicuramente non #EXP che è più analogo a NEXP).

— David Eppstein
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1

♯ P

$\sharp P$

1

n + \log N + \log p

$n + \log N + \log p$

p = 2

$p=2$

\oplus

$\oplus$

\oplus

$\oplus$

@SamiD: Esatto, la tua argomentazione mostra che il permanente non è probabilmente # P difficile con riduzioni parsimoniose . Le prove note utilizzano riduzioni di Turing.

— Holger,

@Holger Sono d'accordo. Mi dispiace di aver perso la parsimoniosa parte multipla . Pertanto, il problema di alimentazione della matrice potrebbe essere # P-difficile con le riduzioni di Turing.

— SamiD,

4

$A^N[s,t]$ $A$ $\mathsf{BitSLP}$ $\#\mathsf{P}$ $\mathsf{BitSLP}$

$\mathsf{BitSLP}$ $\mathsf{CH} \subseteq \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$

— Samid
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1

$\leq N$ $=N$ $\leq N$ $\leq N-1$

$\leq 2$

— Miki Hermann
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2

Il problema originale non richiede che il percorso sia semplice, quindi non credo che la risposta sia corretta.

— Maomao,

3

Come può essere # P-completo quando tutti i problemi #P hanno un numero di soluzioni che sono esponenziali nella dimensione dell'input e questa è doppia esponenziale?

— David Eppstein,

Cosa significa "ND31" nel contesto del libro di Garey e Johson?

— Tyson Williams,