Sottoscrivi l'isomorfismo con un albero

Se abbiamo un grande grafico (diretto) e un albero con radice più piccolo , qual è la complessità più nota per trovare sottografi di isomorfo su ? Sono a conoscenza dei risultati per l'isomorfismo di sottostruttura in cui sia che sono alberi e anche dove è planare o ha limitato la larghezza degli alberi (e altri) ma non per questo grafico e il caso dell'albero. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Raphael
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Intendi sottografo indotto, invece di sottografo?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

@Kristoffer, sono interessato a entrambi. Ho perso qualcosa di banale nel caso non indotto?

— Raffaello,

Il tuo problema è NP-difficile anche se

è un percorso, poiché il problema più lungo (indotto o non indotto) è NP-difficile.

H

$H$

— Yota Otachi,

Sì. Sono interessato a ciò che si sa di più che è particolare perché

è un albero. Ad esempio, a seconda delle proprietà di

come quelle nella domanda o supponendo che

sia corretto, ecc.

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raffaele

Il problema del percorso indotto è W [1] completo (Papadimitriou-Yannakakis 1991) mentre il problema del percorso (non indotto) è FPT (Monien 1985). Vedi anche Chen-Flum 2007. Voglio anche conoscere la complessità parametrizzata per altre classi di alberi.

— Yota Otachi,

Risposte:

La domanda se qualsiasi grafico fisso sia un sottografo (indotto) di è una proprietà definibile del primo ordine, cioè, per ogni esiste una formula ( ) tale che sia un sottografo (indotto) di se e solo se ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

In precedenza era noto che il problema del controllo del modello è trattabile da parametri fissi su classi di grafici che (localmente) escludono un minore e su classi di espansione (localmente) limitata . Di recente, Grohe, Kreutzer e S. hanno annunciato un meta-teorema ancora più generale, affermando che ogni proprietà del primo ordine può essere decisa in un tempo quasi lineare su classi di grafici densi da nessuna parte.

Per la tua domanda questo implica quanto segue. Sia un albero con radice fissa. Quindi si può decidere in tempo lineare se è un sottografo (indotto) di un grafico di input (diretto o non orientato) se è planare, o più in generale proviene da una classe che esclude un minore o da una classe di espansione limitata. Il problema può essere deciso in un tempo quasi lineare se proviene da una classe che esclude localmente un minore o da una classe di espansione localmente limitata o, più in generale, proviene da una classe densa di grafici nulla. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Sebastian Siebertz
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Può essere risolto nel tempo previsto randomizzato dove è la dimensione del piccolo albero diretto da trovare e è il numero di spigoli del grande grafico diretto in cui trovarlo. Vedi Teorema 6.1 di Alon, N., Yuster, R. e Zwick, U. (1995). Codificazione del colore. J. ACM 42 (4): 844–856 . Alon et al. afferma inoltre che il loro algoritmo può essere derandomizzato ma non fornire i dettagli per quella parte; Penso che il tempo deterministico possa essere un po 'più grande, qualcosa di più simile a $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— David Eppstein
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La versione derandomizzata dovrebbe essere come al solito, ad esempio come descritto nella sezione 4, usando semplicemente la funzione hash perfetta per mappare

nodi su

color, il che causa un ulteriore fattore di

. (può anche essere migliorato per

fattore

, significa che è totalmente

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed,

Probabilmente stai cercando Marx, il lavoro di Pilipczuk sulla complessità parametrizzata dell'isomorfismo del sottografo . Tecnicamente, copre solo grafici non indirizzati, ma penso che tu possa adattare facilmente i risultati di durezza per gli alberi agli alberi radicati. I risultati positivi rilevanti per il tuo problema sono già coperti dalle risposte precedenti. $H$

— Radu Curticapean
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