Come generare grafici con la copertura del vertice ottimale nota

Sto cercando un modo per generare grafici in modo che sia nota la copertura ottimale del vertice. Non ci sono restrizioni sul numero di nodi o bordi, solo che il grafico è completamente collegato.

l'idea è quella di generare un grafico che non sia facile da trovare la copertura ottimale del vertice, per essere in grado di testare diverse euristiche su di esso

Ho trovato l'articolo Arthur, J. & Frendeway, J. Generating Travelling-Salesman Problems with Known Optimal Tours, The Journal of the Operational Research Society, Vol. 39, n. 2 (febbraio 1988), pagg. 153-159 per la generazione di TSP con ottimale noto, purtroppo non riesco ad accedervi.

Esiste un algoritmo noto?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— AndresQ
fonte

"Non ci sono restrizioni sul numero di nodi o bordi, solo che il grafico è completamente collegato." Hai bisogno di più restrizioni di questo. Altrimenti, generi l'insieme di grafici completi e conosco le coperture ottimali dei vertici per ognuno.

— Tyson Williams,

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

Suppongo che "generare un grafico bipartito casuale e calcolare la sua copertina di vertice" non sia considerata una risposta utile ...

— David Eppstein,

ci sono molte strategie per creare istanze SAT "dure" e anche repository di istanze "dure" archiviate se si è disposti a seguire quella strada, ovvero convertire un'istanza di SAT in copertura dei vertici. ci sono anche molte ricerche che studiano SAT da un punto di vista empirico che si traduce naturalmente in tutti gli altri problemi NP completi, ad esempio punto di transizione, ecc. molti riferimenti a tutto questo ...

— vzn

Ancora più in generale della solvibilità polinomiale del tempo della copertura dei vertici sui grafici di Koning, come notato da David, il seguente risultato è noto dall'area della complessità parametrizzata: esiste una costante c tale che per ogni intero fisso k, esiste una O (n ^ c) algoritmo temporale per verificare se un grafico ha una copertura del vertice che supera al massimo la sua dimensione di corrispondenza massima di k. I grafici di Konig sono il caso speciale quando k = 0.

— Bart Jansen,

Risposte:

Espandere il commento di vzn in una risposta: la riduzione standard da CNF-SAT alla copertura dei vertici è piuttosto semplice: crea un vertice per ogni termine (variabile o sua negazione), collega ogni variabile alla sua negazione con un bordo, crea una cricca per ogni clausola e collega ciascun vertice nella cricca al vertice per uno dei termini della clausola. Se inizi con un problema di soddisfacibilità con un compito soddisfacente noto, questo ti darà un problema di copertura del vertice con una soluzione ottimale nota (scegli il termine vertici dato dal compito e in ogni clausola cricca scegli tutti tranne un vertice, in modo che il vertice della clausola non scelto è adiacente al termine vertice scelto).

Quindi ora devi trovare problemi di soddisfacibilità che hanno un incarico soddisfacente noto ma dove la soluzione è difficile da trovare. Esistono molti modi noti per generare problemi di soddisfacibilità difficile (ad esempio, generare istanze casuali di k-SAT vicino alla soglia di soddisfacibilità), ma il requisito aggiuntivo di conoscere l'assegnazione soddisfacente limita le possibilità. Una cosa che puoi fare qui è passare attraverso un altro livello di riduzione, da un problema crittograficamente difficile come la fattorizzazione. Vale a dire due numeri primi grandi p e q, imposta un circuito booleano per moltiplicare p e q come numeri binari e tradurlo in una formula CNF in cui è presente una variabile per ciascun ingresso (p e q) e per ciascun valore intermedio su un filo nel circuito, una clausola per ogni uscita costringendolo ad avere il giusto valore, e una clausola per ciascun gate costringendo gli ingressi e le uscite del gate ad essere coerenti tra loro. Quindi tradurre questa formula CNF in copertina di vertice.

Per una strategia più semplice, scegli prima l'assegnazione soddisfacente a una formula 3CNF, quindi genera clausole a caso, mantenendo solo le clausole coerenti con l'assegnazione, quindi converti in copertura vertice. Se le clausole hanno una probabilità uniforme, questo sarà vulnerabile a un'euristica basata sui gradi (il termine vertici che corrisponde all'assegnazione scelta avrà un grado inferiore rispetto ai termini vertici che non lo fanno) ma questa mancanza può essere evitata regolando le probabilità delle clausole in base a quanti termini della clausola concordano con l'assegnazione scelta. Probabilmente questo è vulnerabile a un qualche tipo di attacco temporale polinomiale, ma potrebbe non essere naturale per la copertura dei vertici, quindi potrebbe essere un buon set di istanze di test nonostante non abbia molta garanzia di durezza.

— David Eppstein
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\cap

$\cap$

il riferimento più vicino che ho trovato era ... In casi difficili di copertura approssimativa del vertice di Sundar Vishwanathan. non ho visto i riferimenti per guardare i casi difficili del problema esatto.

come nel mio commento, c'è una vasta gamma di ricerche su questo approccio corrispondente per SAT che è riducibile alla copertura dei vertici.

per quanto riguarda il commento di DE, l'idea di generare istanze casuali e di scegliere quelle istanze difficili per un algoritmo standard mi sembra del tutto ragionevole con un approccio di ricerca empirica / sperimentale [1], è una procedura operativa standard per ricerche simili nel SAT punto di transizione. [2]

che tra l'altro ha qualcosa da dire dove si trova la regione "difficile" per qualsiasi altro problema NP completo [3,4,5] che si riferisce approssimativamente a un punto critico nella "densità" di 1s in istanze casuali specificate in binario. per la copertura del vertice ciò corrisponderebbe probabilmente alla densità del bordo.

notare che dimostrando che uno può costruire una serie di istanze difficili, e solo istanze difficili, è sostanzialmente equivalente al problema P vs NP. un'analisi più formale di questa equivalenza è nel documento Razborov / Rudich Natural Proofs.

[1] algoritmo sperimentale

[2] Ricerca sulla transizione di fase SAT

[3] Transizioni di fase in NP Hard Problems

[4] Transizioni di fase in problemi NP-completi: una sfida per probabilità, combinatoria e informatica di Moore

[5] Comportamento di transizione di fase di Walsh

— VZN
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