Gentile introduzione all'isomorfismo grafico per i grafici di mantovana limitati

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Sto leggendo su classi di grafi per le quali Graph Isomorfismo ( ) è in . Uno di questi casi sono i grafici della valenza limitata (massimo sopra il grado di ciascun vertice), come spiegato qui . Ma l'ho trovato troppo astratto. Sarei grato se qualcuno potesse suggerirmi alcuni riferimenti di natura espositiva. Non ho un forte background nella teoria dei gruppi, quindi preferirei documenti che usano la teoria dei gruppi in modo delicato (il mio background è in CS). $GI$ $P$

— DurgaDatta
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Non ho il libro (purtroppo), ma The Graph Isomorphism Problem: Its Structural Complexity di Johannes Köbler, Uwe Schöning e Jacobo Torán potrebbero contenere una prova del caso di laurea limitata. Potresti volerlo controllare.

— Tsuyoshi Ito,

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@TsuyoshiIto: Anche se questo è un libro eccellente che offre una buona introduzione alla IG e ad un bel po 'di complessità strutturale generale, non contiene molto (se non altro) sul caso di laurea limitata. Non conosco una delicata introduzione al caso di laurea limitata, ma è così intimamente legato ai metodi teorici di gruppo che dubito che ci sia un'esposizione che usa la teoria dei gruppi "solo delicatamente" (come richiesto dal PO).

— Joshua Grochow,

Sono ansioso di dare una panoramica, lo farò presto!

— Jim,

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L'algoritmo per l'isomorfismo del grafico di grado limitato è così strettamente legato alla teoria dei gruppi (permutazione) che dubito che ci sia un'introduzione che utilizza i gruppi "solo delicatamente". Tuttavia, potresti consultare il dottorato di ricerca di Paolo Codenotti tesi per uno sfondo più completo. Non copre esattamente l'isomorfismo del grafico di grado limitato, ma copre gli strumenti necessari per esso (e il resto della tesi riguarda gli ipergrafi di rango limitato, estendendo l'algoritmo più noto per l'isomorfismo del grafico generale al caso dell'ipermetro di rango limitato) .

Potresti anche trovare utile il libro Algoritmi di gruppo teorico e Isomorfismo grafico , poiché copre la maggior parte dello sfondo necessario (capitolo 2, "Concetti di base", è di 47 pagine) ed è un'esposizione molto più piacevole rispetto alla maggior parte degli articoli pubblicati su il tema.

— Joshua Grochow
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Notazione: Sia è grafico, un bordo di . L'insieme dei vertici l'insieme dei vertici di distanza da , e lasciare che sia l'altezza . $X = (V,E)$ $e = (v_1, v_2)$ $X$ $V_k$ $k$ $e$ $h$ $X$

Secondo la definizione di , e . Sia, il sottoinsieme dei bordi di è definito come- $V_k$ $V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$ $V_{(h+1)}= \emptyset$ $E_k$ $X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

Il sottografo è definito come- $X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

Ad esempio, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

è il gruppo di automorfismi del grafico cui è fisso. Se è un gruppo elettrogeno di , si scrive , per esempio, è chiaro che $Aut_e(X)$ $X$ $e$ $B$ $Aut_e(X_k)$ $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ Dove è una permutazione dei vertici di . $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ $(v_1,v_2)$ $v_1, v_2$ $X$

Principio La costruzione del gruppo elettrogeno del gruppo di automorfismi di è un problema completo GI (isomorfismo grafico) [1]. Quindi, se siamo in grado di calcolare il gruppo elettrogeno del gruppo di automorfismi di (che ha limitato la mantovana nel tempo polinomiale), possiamo risolvere la GI in tempo polinomiale. Quindi, desideriamo determinare . $X$ $X$ $Aut_e(X)$

Tecnica:

Costruiremo . Per ciascuno, costruiremo $X_0, X_1..... X_h$ $X_k$ $Aut_e(X_{(k)})$

Si noti che una permutazione di può essere estesa ad un automorfismo di . $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1)})$

Quindi, i generatori di possono essere ottenuti da generatori per . $Aut_e(X_{(k+1)})$ $Aut_e(X_{k})$

Per costruire un generatore, viene manipolato il tipo di struttura di . Il tipo di struttura di può essere diviso in classi finite. Ad esempio, nel caso trivalente, ci sono solo sei tipi (solo cinque di questi casi possono effettivamente verificarsi). $E_k$ $E_k$

Classificheremo i bordi in in tipi e li raggrupperemo in famiglie. Questo aiuta a creare un numero di etichette uniche. $E_k$

$Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1) })$ $Aut_e(X)$

— Jim
fonte

[1] Mathon, Rudolf. , Una nota sul problema conteggio isomorfismo grafico, Inform. Processi. Lett. 8 (1979), n. 3, 131–132.

— Jim