L'entropia di una distribuzione rumorosa

Supponiamo che abbiamo una funzione tale che ∀ x ∈ Z n $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ efè una distribuzione, cioè,Σx∈Z n 2 f(x)=1.

$$\forall x\in \mathbb{Z}_2^n \quad f(x) \in \left\{\frac{1}{2^n}, \frac{2}{2^n}, \ldots, \frac{2^n}{2^n} \right\},$$ $f$$\sum_{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x) = 1$

L'entropia di Shannon di è definita come segue: H ( f ) = - ∑ x ∈ Z n 2 f ( x ) log ( f ( x ) )$f$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x) \log \left( f(x) \right) .$$

Sia una costante. Supponiamo che otteniamo una versione ϵ- rumorosa di f ( x ) , ovvero otteniamo una funzione ˜ f : Z n 2 → R tale che | ˜ f ( x ) - f ( x ) | < ϵ per ogni x ∈ Z n 2 . Qual è l'effetto del rumore sull'entropia? Cioè, possiamo legare H ( ˜ f ) da una funzione "ragionevole" di $\epsilon$$\epsilon$$f(x)$$\tilde{f}:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$|\tilde{f}(x)- f(x) | < \epsilon$$x\in \mathbb{Z}_2^n$$H(\tilde{f})$$\epsilon$e , come ad esempio: ( 1 - ε ) H ( f ) < H ( ~ F ) < ( 1 + ε ) H ( f ) , o anche, ( 1 - ε c n ) d H ( f ) < H ( ˜ f ) < ( 1 + ϵ c n $H(f)$

$$(1-\epsilon)H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon)H(f),$$ per alcune costanti c , d . $$(1-\epsilon^c n)^d H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon^c n)^d H(f),$$ $c,d$

Modifica: Cercando di avere un'idea dell'effetto del rumore sull'entropia di Shannon, qualsiasi additivo "ragionevole" legato a sarebbe anche molto interessante.$H(\tilde{f})$

$f$$S$$2^{\delta \cdot n}$$\tilde{f}$$\delta$$S$

$f$$\tilde{f}$$(1-\delta) \cdot 2^{-\delta \cdot n}$$H(f)= \delta \cdot n$$H(\tilde{f}) \approx (1 - \delta + \delta^2) \cdot n$$(1 - \delta)^2 \cdot n$$\delta$

$\delta = \frac{\log(1/\varepsilon)}{n}$$\varepsilon$$\approx n - 2\log(1/\varepsilon)$