Il seguente problema NP è difficile?

Considera una raccolta di insiemi su un insieme di base dove ed , e sia un intero positivo. $F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ $|F_i|$ $\ll$ $n$ $e_i \in F_i$ $k$

L'obiettivo è quello di trovare un altro insieme di insiemi sopra tale che ogni può essere scritta come unione di al massimo reciprocamente disgiunte imposta in e vogliamo anche essere minimo (cioè il numero aggregato di elementi in tutti gli insiemi di $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ $U$ $F_i$ $k$ $(k<<|C|)$ $C$ $\sum_1^m |C_j|$ $C$ dovrebbe essere il più piccolo possibile).

Nota che ha le stesse dimensioni con , ma la dimensione di è incerta. $F$ $U$ $C$

Qualcuno può dire se il problema sopra è NP-difficile? (set copertura？ imballo？ copertura perfetta）

Grazie per il tuo tempo.

— Rhein
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Non capisco quale sia il "problema". A cosa vuoi rispondere?

— Ankur,

Perché questo problema non è banale impostando C = {U}?

— Tsuyoshi Ito,

Oltre al significato preciso di "molto più piccolo", ho ancora difficoltà a comprendere il problema. Come indicato nella revisione 11, mi sembra che la soluzione ottimale sia sempre C = ∅ o C = {∅}. Se aggiungiamo un vincolo che C contiene almeno un set non vuoto come elemento, allora C = {{e}} per alcuni elementi e∈U sarà l'ottimale.

— Tsuyoshi Ito,

Si prega di leggere attentamente la propria domanda. Non hai mai detto che C deve essere scelto in modo che F_i possa essere scritto come unione di set da C.

— Tsuyoshi Ito

Posso visualizzare il problema NORMAL SET BASIS come sottoproblema di quello originale?

— Rhein,

Lemma. Il problema è NP-difficile.

Schizzo di prova. Ignoriamo i vincoli nel problema pubblicato, perché, per qualsiasi istanza del problema, l'istanza ottenuta ottenendo l'unione di copie indipendenti di (dove l' $|F_i| \ll n = |U|$ $(F,U,k)$ $(F'=F^n,U'=U^n,k)$ $n$ $(F,U,k)$ $i$ th copia utilizza esima copia di come insieme di base) è equivalente, e soddisfa il vincolo (ha ). $F$ $i$ $U$ $|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

Diamo una riduzione da 3-SAT. Per la presentazione, nella prima fase della riduzione, ignoriamo i vincoli nel problema pubblicato. Nella seconda fase descriviamo come soddisfare tali vincoli mantenendo la correttezza della riduzione. $e_i \in F_i$

Primo stadio. Correggi qualsiasi formula 3-SAT . Supponiamo che in WLOG ogni clausola abbia esattamente tre letterali (ognuno con una variabile diversa). Produrre la seguente istanza del problema pubblicato, con . $\phi$ $(F,U,k)$ $k=3$

Sia il numero di variabili in . Ci sono elementi in : un elemento (per "vero") e, per ogni variabile in , tre elementi , ed (per "falso"). $n$ $\phi$ $3n+1$ $U$ $t$ $x_i$ $\phi$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$

Per ogni elemento in è un insieme singoletto contenente solo tale elemento . Qualsiasi soluzione include pertanto ciascuna di tali insiemi, che contribuiscono loro dimensione totale al costo di . $U$ $F$ $C$ $3n+1$ $C$

Inoltre, per ogni variabile in c'è un set "variabile" in . Per ciascuna clausola c'è un set "clausola" in composto dai letterali nella clausola, e . Ad esempio, la clausola restituisce il set $x_i$ $\phi$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $F$ $\phi$ $F$ $t$ $x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$ in . $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $F$

Rivendicazione 1. La riduzione è corretta: è soddisfacente se una soluzione ha un costo . $\phi$ $C$ $\sum_j |C_j| = 5n+1$

(solo se) Supponiamo che sia soddisfacente. Costruire una soluzione costituito dalle insiemi singoletto, inclusa, per ogni variabile , la coppia costituita dal vero letterale e . (Ad esempio, se è falso.) Il costo di è quindi . $\phi$ $C$ $3n+1$ $x_i$ $t$ $\{\overline x_i, t\}$ $x_i$ $C$ $5n+1$

Ogni set di variabili è l'unione di tre insiemi: la coppia costituita dal vero valore letterale , più due insiemi singleton, uno per ciascuno degli altri due elementi. (Ad esempio, .) $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $t$ $\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Ciascun set clausola (ad esempio ) è l'unione di tre serie: una coppia costituita da e un vero letterale, più due insiemi singoletto, uno per ciascuno degli altri due letterali. (Ad esempio, .) $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $t$ $\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(se) Supponiamo che esista una soluzione di dimensioni . La soluzione deve contenere i set singleton , oltre ad altri set di dimensioni totali . $C$ $5n+1$ $3n+1$ $2n$

Considera innanzitutto i set di "variabili", ciascuno dei moduli . Il set è l'unione disgiunta di al massimo tre set in . Senza perdita di generalità, è l'unione disgiunta di due singoli e una coppia (altrimenti, dividere i set in raggiunge questo obiettivo senza aumentare il costo). Indica la coppia . Le coppie e per diverse variabili e sono distinte, perché $n$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $C$ $C$ $P_i$ $P_i$ $P_j$ $x_i$ $x_j$ contiene , o ma no. Quindi, la somma delle dimensioni di queste coppie è di . Quindi queste coppie sono gli unici insiemi non singleton nella soluzione. $P_i$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$ $P_j$ $2n$

Quindi prendere in considerazione le serie di "clausole", ad esempio . Ciascuno di questi insiemi deve essere l'unione di al massimo tre insiemi in , ovvero fino a due insiemi singleton e almeno una coppia , o . Ispezionando le coppie e il set di clausole, deve essere l'unione di due singleton e una coppia e quella coppia deve essere nella forma o $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$ $C$ $P_i$ $P_j$ $P_k$ $\{x_i, t\}$ $\{\overline x_j, t\}$ (letterale e ). $t$

Quindi, la seguente assegnazione soddisfa : assegnare true a ciascuna variabile tale che , assegnare false a ciascuna variabile tale che e assegnare il variabili rimanenti arbitrariamente. $\phi$ $x_i$ $P_i=\{x_i, t\}$ $x_i$ $P_i=\{\overline x_i, t\}$

Fase 2. L'istanza prodotta in precedenza non soddisfa il vincolo indicato nella descrizione del problema. Correggere tale difetto come segue. Ordinare gli insiemi e gli elementi in modo che ciascun insieme singleton corrisponda al suo elemento . Sia il numero di clausole in , quindi $(F,U,k=3)$ $e_i \in F_i$ $F_i$ $e_i$ $U$ $e_i$ $m$ $\phi$ e . $|F|=1+4n+m$ $|U|=1+3n$

Let indica l'istanza ottenuta come segue. Lasciate un insieme di nuovi elementi artificiali, due per ogni insieme non singoletto in . Let . Lascia che contenga i set singleton di , più, per ogni set non singleton in , due set $(F', U', k'=4)$ $A$ $2n+2m$ $F$ $U'=U\cup A$ $F'$ $F$ $F_i$ $F$ e , dove e sono due elementi scelti unicamente per . Adesso e (con il corretto ordinamento di e ) il vincolo $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ $\{a_i,a_i'\}$ $a_i$ $a_i'$ $A$ $F_i$ $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ $F'$ $U'$ è soddisfatto per ogni set . $e'_i\in F'_i$ $F'_i$

Per finire, nota che ha una soluzione di costo iff l'istanza originale ha una soluzione del costo . $(F',U',k'=4)$ $|A|+5n+1$ $(F, U, k=3)$ $5n+1$

(if) Data una soluzione di costo per , aggiungendo gli insiemi (uno per ogni non singleton , quindi questi la partizione da ) a fornisce una soluzione a del costo $C$ $5n+1$ $(F,U,k=3)$ $n+m$ $\{a_i, a'_i\}$ $F_i$ $A$ $C$ $(F', U', k'=4)$ . $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$

(solo se) Considera qualsiasi soluzione per del costo . Considera qualsiasi coppia di insiemi non singleton e in . Ognuno è l'unione disgiunta di al massimo 4 set in $C'$ $(F', U',k=4)$ $|A|+5n+1$ $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ $\{a_i, a_i'\}$ $F'$ . Da un argomento locale di scambio, uno di tali gruppi è e il resto non contengono o --- altrimenti questa struttura può essere ottenuto mediante una modifica locale agli insiemi, senza aumentare il costo ... (la mancanza di dettagli qui è il motivo per cui lo chiamo unoschizzo diprova). Quindi la rimozione deiset da fornisce una soluzione per $C'$ $\{a_i, a_i'\}$ $a_i$ $a_i'$ $\{a_i, a_i'\}$ $C'$ $C$ del costo . $(F,U,k=3)$ $5n+1$ $\diamond$

— Neal Young
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