Verifica quantistica unidirezionale

La teoria del calcolo dello stato del cluster è ormai consolidata, a dimostrazione del fatto che qualsiasi circuito BQP può essere modificato in modo da utilizzare solo porte quantiche a qubit singolo, possibilmente controllate classicamente, a condizione che vi sia un'ampia offerta di uno stato noto come "stato del cluster" - che è uno stato di stabilizzazione semplice da produrre.

La mia domanda è: una nozione simile è nota per la verifica quantistica - cioè si può sostituire i circuiti QMA con gate a 1 qubit controllati classicamente, usando forse uno "stato speciale"? Almeno inizialmente, non sono chiaro il motivo per cui lo stato del cluster può funzionare anche in questo caso.

quantum-computing

— Lior Eldar
fonte

Se ho capito bene, il problema che in QMA Merlin ti offre una prova quantistica che devi in qualche modo incorporare nel modello? In altre parole, se fosse QCMA invece di QMA, in cui Merlino ti dava semplicemente una stringa classica, allora potremmo semplicemente usare i risultati noti per BQP, giusto?

— Robin Kothari,

Sì, è corretto. Grazie per aver fatto questa distinzione.

— Lior Eldar,

Per cominciare, si potrebbe porre la stessa domanda per BQP: possiamo eseguire qualsiasi calcolo quantistico dato il potere di fare misurazioni a 1 qubit e una fornitura di stati cluster non attendibili (o qualche altro stato adatto)?

— Norbert Schuch,

Risposte:

È possibile limitare il verificatore QMA alle misurazioni a qubit singolo e al pre e postelaborazione classici (con casualità) mantenendo la completezza del QMA.

Per capire perché, prendere qualsiasi classe di -Local Hamiltoniane QMA-completa su qubit. Aggiungendo una costante di ordine e riscalando con un fattore , l'hamiltoniano può essere portato nella forma dove , e $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

, dove

è un prodotto di Paulis. Stimare il più piccolo autovalore di

fino alla precisione

è ancora difficile da QMA.

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

Ora possiamo costruire un circuito che utilizza solo misurazioni a qubit singolo che, dato uno stato , accetta con probabilità (che per costruzione è tra e ). A tal fine, prima scegli casualmente uno degli base alla distribuzione . Quindi, misurare ciascuno dei Paulis a , e prendere la parità dei risultati, che è ora legati alla $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ via Il circuito ora uscite, e l'uscita è quindi distribuito in base alle.

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

Questo è, se abbiamo scelto un'istanza yes del problema Hamiltoniano locale (completo di QMA), c'è uno stato tale che questo verificatore accetterà con una certa probabilità , mentre altrimenti qualsiasi stato sarà respinto con probabilità , con . La variante di QMA in cui il verificatore è limitato alle misurazioni di un qubit è quindi completa di QMA per circa $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$ gap. Infine, questa versione di QMA può essere amplificata usando solo le tecniche di amplificazione convenzionali per QMA, il che dimostra finalmente che è QMA indipendente dal gap (all'interno della stessa gamma di QMA).

— Norbert Schuch
fonte

Potresti fornire una breve spiegazione o un riferimento al perché il problema di stimare il più piccolo autovalore di

è ancora difficile dal QMA? Grazie!

H

$H$

— Henry Yuen,

Si parte da una Hamiltoniana

per cui questo problema [fino a

] è QMA-completo, un cambiamento in una Hamiltoniana

, dove

, stimando così l'energia GS di

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$ fino a precisione

è ancora difficile da QMA.

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

— Norbert Schuch,

Si può supporre sempre che

è un proiettore su un autospazio di un Pauli Hamiltoniana?

h_{i}

$h_i$

— Henry Yuen,

Bene, ogni termine

nell'originale hamiltoniano può essere scritto come una somma di

prodotti Pauli (

per

) e il prefattore di ciascun Pauli il prodotto

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

— Norbert Schuch,

La mia interpretazione della domanda è che mi stai ponendo, possiamo supporre che il circuito di verifica per un protocollo QMA usi solo misurazioni a singolo qubit? (L'idea è che il prover ti mandi sia la prova quantistica sia lo stato del cluster quantico necessari per implementare il circuito di verifica originale mediante "calcolo quantistico unidirezionale".)

Il problema, ovviamente, è che il prover potrebbe non inviarti affatto uno stato cluster valido. Quindi il verificatore dovrebbe testare lo stato ricevuto per assicurarsi che sia davvero uno stato del cluster. Il verificatore lo fa effettuando misurazioni a qubit singolo e verificando che le correlazioni soddisfino i necessari controlli di stabilizzazione. Poiché tale test è distruttivo per lo stato, dovrebbe esserci una procedura in cui al verificatore vengono fornite molte copie dello stato, ne controlla la maggior parte e ne utilizza una casuale per il calcolo. Polinomialmente sono sufficienti molte copie?

Non penso che questo sia un teorema noto. Non vedo un controesempio ovvio (con un minuto di riflessione), quindi potrebbe essere credibile. La tecnologia di prova nota sugli stati di prova sembra che dovrebbe essere sufficiente per verificarlo. Ad esempio, vedi l'articolo di Matthew McKague arXiv: 1010.1989 [quant-ph]. Se ottieni una prova funzionante, invia il documento a QIP (scadenza 5 ottobre)!

— Anonimo
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Forse sto fraintendendo questa domanda. Se ti stai chiedendo se puoi implementare il circuito del verificatore per un problema in QMA usando un calcolo basato sulla misurazione, in cui Merlino fornisce il livello di input e Arthur fornisce tutti gli altri qubit nello stato delle risorse e intreccia entrambi i set di qubit prima che inizino le misurazioni, quindi la risposta è banalmente sì. Ciò deriva direttamente dal fatto che qualsiasi circuito quantistico può essere implementato come un calcolo basato sulla misurazione, indipendentemente dal fatto che si tratti di input classico o quantistico.

Noterai che nella maggior parte degli articoli sui siti di input di calcolo basati sulla misurazione sono generalmente identificati separatamente dagli altri siti, e questo è il motivo (cioè specificamente per trattare il caso dell'input quantico).

— Joe Fitzsimons
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In realtà non sono chiaro su questo punto. Nei documenti di calcolo basato sulla misurazione che ho visto, la trasformazione è da qualsiasi circuito BQP con input classico, a un circuito di calcolo unidirezionale a partire dallo stato del cluster. Vale a dire, NON è descritto come una trasformazione che porta qualsiasi circuito arbitrario U ad un circuito basato su misura U_1, indipendentemente dall'ingresso. Mentre la domanda sulla complessità che mi ero posto, ora è stata risolta in seguito alla risposta di Norbert, vorrei ancora capire questo punto.

— Lior Eldar,

@LiorEldar: Quindi dovresti guardare il documento originale di Raussendorf e Briegel o quello di Raussendorf, Browne e Briegel. Costruiscono esplicitamente circuiti un gate alla volta, dimostrando che ogni modello di misurazione implementa un determinato gate sullo strato di input, che può essere in uno stato arbitrario. Sicuramente puoi implementare circuiti arbitrari su input arbitrari.

— Joe Fitzsimons,

Lior era in realtà qui ad Aquisgrana quando ne abbiamo discusso, e un modo per capire la domanda si basa su questa idea: Merlin potrebbe fornire la prova integrata in uno stato cluster (non attendibile) e Arthur usa le sue misurazioni a un qubit per verificare il cluster o verificare la prova utilizzando MBQC? (Forse si potrebbero usare idee simili a quelle della società cieca in cui viene utilizzata la correzione degli errori?) Sfortunatamente, non è necessaria questa bella idea per dimostrare la durezza del QMA. ;-( Tuttavia, credo che sia ancora una domanda interessante capire se funzionerebbe, e tu saresti l'esperto per mostrarlo :-)

— Norbert Schuch,

@Lior: se si desidera utilizzare MBQC per verificare l'input, è necessario ovviamente anche gate a 2 qubit oltre alle misurazioni a un qubit (poiché è necessario intrecciare l'input con lo stato del cluster).

— Norbert Schuch,

@Joe: A proposito, la stessa domanda per BQP (possiamo eseguire BQP usando misurazioni a 1 qubit usando uno stato cluster non attendibile) è ovviamente ancora aperta, e mi sembra che le idee utilizzate nel calcolo cieco possano essere la strada da percorrere .

— Norbert Schuch,