Conteggio dei coloranti della griglia che evitano determinate funzionalità

Un -colore di una griglia m × $k$$m \times n$ è una funzione . Un rettangolo rotto in C è una tupla ( i , i ′ , j , j ′ ) che soddisfa C ( i , j ) = C ( i ′ , j ) = C $C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$ - cioè esattamente tre angoli del rettangolo hanno lo stesso colore.$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Sono interessato alla seguente domanda:

In funzione di , quanti k -colori esistono (per griglie di qualsiasi dimensione) che evitano righe duplicate, colonne duplicate e rettangoli rotti?$k$$k$

Finora so che la risposta è finita e il miglior limite superiore che posso provare è (vedi sotto).$k^{(1.5 k!)^2}$

Devo anche sottolineare che questa è una domanda diversa da quella di cui Gasarch parla spesso sul suo blog (e in questo documento ). Vuole evitare tutti i rettangoli monocromatici, mentre non mi dispiace i rettangoli monocromatici, sono solo quelli "rotti" che voglio evitare.

Qual è la motivazione? Nella crittografia, consideriamo il problema di Alice (che ha ) e Bob (che ha y ) entrambi imparano f ( x , y ) per una funzione concordata f , in modo tale che non imparino altro che f ( x , y ) . È possibile associare f in modo naturale con una tabella bidimensionale, quindi una colorazione a griglia. Esistono caratterizzazioni per questo tipo di problema nella seguente forma (ma con notazione diversa): " f ha alcune proprietà crittograficamente interessanti se e solo se $x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$contiene un rettangolo rotto. "Per esempi, vedi Kilian91 e BeimelMalkinMicali99 .

Quindi questo problema è emerso in un contesto di crittografia che stavo indagando. Per i miei scopi, è stato sufficiente sapere che esiste un numero finito di colorazioni della griglia che evitano rettangoli rotti e righe / colonne duplicate. Ma ho pensato che il problema combinatorio stesso fosse interessante e credo che dovrebbero essere possibili limiti migliori.

Il limite migliore che posso provare: Definisci e R ( k ) = k ⋅ R ( k - 1 ) ; quindi R ( k ) = 1,5 k ! . Innanzitutto, si può dimostrare che se C è una colorazione k con almeno R ( k $R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$righe, quindi ha una riga duplicata o un rettangolo rotto. Simmetricamente, si può mostrare la stessa cosa rispetto alle colonne. (La dimostrazione è piuttosto semplice, in base al principio del buco del piccione sul numero di colori.) Da questo, sappiamo che i coloranti a cui teniamo hanno tutte dimensioni inferiori a k R ( k ) 2 tali coloranti. , e possiamo ottenere un limite superiore molto lento di$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

Penso che questo possa essere migliorato in due modi: in primo luogo, penso che il valore ottimale di sia 2 k - 1 + 1 . Di seguito è una famiglia di coloranti (ricorsivamente definita), in cui C k è un colore k di dimensione 2 k - 1 × 2 k - 1 che evita queste caratteristiche proibite:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

Credo che questi siano i più grandi colori che evitano queste strutture proibite.$k$

$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$