Sull'entropia di una somma

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Sto cercando un balzo sul entropia della somma di due variabili aleatorie discrete indipendenti e . Naturalmente, Tuttavia, applicato alla somma di variabili casuali indipendenti di Bernoulli , questo dà $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

In altre parole, il limite cresce linearmente con

quando applicato ripetutamente. Tuttavia,

è supportato su un set di dimensioni

, quindi la sua entropia è al massimo

. In realtà, per il teorema del limite centrale, sto cercando di indovinare che

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

poiché è essenzialmente supportato su un set di dimensioni

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

In breve, il limite supera di un bel po 'in questa situazione. Dando un'occhiata a questo post del blog , raccolgo tutti i tipi di limiti su sono possibili; esiste un limite che dia gli asintotici giusti (o, almeno, asintotici più ragionevoli) se applicato ripetutamente alla somma delle variabili casuali di Bernoulli? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— robinson
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2

Non sono sicuro di cosa tu stia davvero chiedendo. Se si desidera un limite superiore su H (X + Y) in termini di H (X) e H (Y) applicabile a due variabili casuali discrete indipendenti X e Y, quindi H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) è chiaramente il migliore che puoi ottenere; si consideri il caso in cui le somme x + y sono tutte distinte quando x si estende sul supporto di X e y si estende sul supporto di Y. Se si applica questo limite generale a un caso molto speciale, è naturale che si ottenga un vincolato.

— Tsuyoshi Ito,

1

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

1

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

2

Ciò significa che ciò che stai cercando non è un limite superiore su H (X + Y) in termini di H (X) e H (Y) . Modifica la domanda

— Tsuyoshi Ito,

1

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

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$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Boaz Barak
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$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
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0

Forse potresti usare l'equazione:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Sembrerebbe un termine che hai menzionato nei commenti, purtroppo non conosco i risultati sulla cardinalità dei termini negativi o dei limiti penetranti su di essi.

— pagliaio
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