Il problema ODD ANCHE DELTA

Sia un grafico. Lascia cheessere un numero intero. Sia il numero di sottografi indotti dai bordi di con vertici e un numero dispari di bordi. Sia il numero di sottografi indotti dai bordi di con vertici e un numero pari di bordi. Let . Il problema ODD ANCHE DELTA consiste , dati e . $G = ( V, E )$ $k \leq |V|$ $O_k$ $G$ $k$ $E_k$ $G$ $k$ $\Delta_k = O_k - E_k$ $\Delta_k$ $G$ $k$

Domande

È possibile calcolare in tempo polinomiale? Qual è l'algoritmo più noto per calcolarlo? $\Delta_k$

E se è 3-regolare? $G$

E se è bipartito 3-regolare? $G$

E se è planare bipartito regolare 3? $G$

— Giorgio Camerani
fonte

Qual è la tua motivazione?

— Tyson Williams,

@TysonWilliams: La mia motivazione è che, se la prima parte della prima domanda ha una risposta affermativa (anche solo per il caso planare bipartito 3-regolare), allora ci sarebbero alcune conseguenze interessanti che meritano ulteriori esplorazioni. Se l'algoritmo è sub-esponenziale, avrebbe comunque delle conseguenze (meno interessante, ma meriterebbe comunque più esplorazioni).

— Giorgio Camerani,

Può essere più preciso? Cosa intendi con "alcune conseguenze interessanti"? Come hai riscontrato questo problema in primo luogo?

— Tyson Williams,

@TysonWilliams: Potremmo continuare questa conversazione privatamente, via e-mail?

— Giorgio Camerani,

Il problema ODD ANCHE DELTA è # P-hard, anche su grafici planari bipartiti 3-regolari.

Let l'insieme di copertine vertici di un grafo generale . Quindi, supponendo che non abbia vertici isolati, vale la seguente equazione (fare riferimento all'articolo sopra per la dimostrazione): $\mathcal{C}$ $G$ $G$

| C | = 2^{| V |} - \sum_{k = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

Il conteggio delle copertine dei vertici è # P-completo anche su grafici planari bipartiti 3-regolari e può essere fatto con un numero lineare di chiamate a un oracolo DELTA ANCHE ODD.

— Giorgio Camerani
fonte

AGGIORNARE:

Avrei dovuto sottolineare che la risposta che segue riguarda il caso speciale di. Poiché questo caso è difficile, anche il problema per generale è difficile. $k = |V|$ $k$

La struttura di Holant è essenzialmente una somma esponenziale che copre i sottografi (ovvero tutti i vertici sono presenti nel sottografo, quindi la somma è sopra i sottoinsiemi di bordi). Al contrario, l'attuale versione della domanda riguarda i sottografi indotti dal bordo.

Una versione precedente di questa domanda riguardava il conteggio di alcuni sottografi senza vertici isolati. La risposta seguente risponde correttamente a questo requisito. Quando si considerano entrambi i sottografi spanning (cioè la struttura di Holant) e nessun vertice isolato, questo equivale a considerare i sottografi indotti dal bordo convertici. L'OP sostanzialmente lo ha sottolineato in questa domanda . $|V|$

Grafici planari 3-regolari

Per il momento, ignorerò la tua richiesta che il grafico sia bipartito. $G$

Supponiamo che sia un grafico planare 3 regolare. Il tuo problema può essere espresso come il problema bipartito planare di Holant $G$

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) .

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

Lasciami spiegare come. Per ulteriori dettagli rispetto a quelli forniti di seguito, consultare questo documento .

La Holant è una somma delle assegnazioni (booleane) ai bordi. Sui vertici ci sono dei vincoli, i cui input sono le assegnazioni ai loro bordi degli incidenti. Per ogni assegnazione ai bordi, prendiamo il prodotto di tutti i vincoli del vertice.

Il vostro requisito che non ci siano vertici isolati è il vincolo che non è soddisfatto in un particolare vertice se nessuno dei suoi bordi incidenti è selezionato ed è soddisfatto se almeno un bordo è selezionato. Questo vincolo simmetrico è indicato da [0,1,1,1], che produce 0 (cioè non soddisfatto) quando il numero di input 1 è 0 (cioè nessun bordo incidente nel sottografo) e output 1 (cioè soddisfatto) quando il numero degli input 1 è 1, 2 o 3 (ovvero 1, 2 o 3 spigoli degli incidenti nel sottografo).

L'altro requisito è calcolare il numero di sottografi con un numero pari di bordi meno i sottografi con un numero dispari di bordi. Per il nostro grafico , sostituiamo ogni bordo con un percorso di lunghezza 2 (che è anche chiamato il tratto 2 di ). Questo dà un grafico (2,3) -regolare bipartito. A tutti i vertici originali, assegniamo il vincolo [0,1,1,1] dall'alto. A tutti i nuovi vertici, assegniamo il vincolo [1,0, -1]. Poiché l'entrata centrale di questo vincolo è 0, questo impone che ai bordi incidente di questi vertici di grado 2 sia assegnato 0 (cioè non nel sottografo) o entrambi 1 (cioè nel sottografo). Ora per un determinato incarico ai bordi, se il numero $G$ $G$ $n$ dei bordi "originali" è pari, quindi il contributo di tutti i vertici di grado 2 è . Altrimenti, è dispari e il contributo è . Questo è esattamente quello che vuoi. $(-1)^n = 1$ $n$ $(-1)^n = -1$

Questo bipartito problema di Holant è # P-hard di Theorem 6.1 in questo documento . Tuttavia, quel teorema non è il più facile da applicare. Invece, considera quanto segue.

Facciamo una trasformazione olografica di che non cambia il valore di Holant. Pertanto, il problema sopra riportato è esattamente lo stesso di $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & = Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ = Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]) . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

Quindi è facile vedere che questo problema è # P-hard di Theorem 1.1 in questo documento .

Limitazione ai grafici bipartiti

Proprio come la tua domanda precedente , lo stesso problema limitato ai grafici bipartiti è molto più difficile da gestire e credo che sia ancora un problema aperto. Abbiamo una congettura sui casi trattabili (e controllerò per vedere se il tuo problema è uno di questi), ma penso che il tuo problema sia ancora # P-duro anche se limitato ai grafici bipartiti.

— Tyson Williams
fonte

Grazie per aver dedicato il tuo tempo a questa domanda e per aver fornito una risposta così dettagliata. Non avendo familiarità con la struttura di Holant, avrò bisogno di un po 'di tempo per analizzarla e per metabolizzare completamente il tuo ragionamento (ovviamente non ho dubbi sulla sua correttezza, è solo che voglio capire ogni passo, non solo la conclusione) . Per quanto riguarda la restrizione bipartitica, sì, sarebbe davvero bello se potessi verificare se la tua congettura relativa a casi trattabili comprende il mio problema.

— Giorgio Camerani,