Problemi difficili per i grafici di genere superiore

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I grafici planari hanno genere zero. I grafici incorporabili in un toro hanno al massimo un genere 1. La mia domanda è semplice:

Ci sono problemi che sono risolvibili polinomialmente su grafici planari ma NP-hard su grafici di genere uno?
Più in generale ci sono problemi che sono risolvibili polinomialmente sui grafici del genere g ma NP-hard sui grafici del genere> g?

— Shiva Kintali
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Per la seconda domanda, vuoi che il problema sia NP-difficile per i grafici del genere> = k, dove k è una costante maggiore di g? O vuoi solo che il problema sia NP-difficile per i grafici il cui genere non è inferiore a g (che equivale a essere NP-difficile per i grafici generali)?

— Robin Kothari,

1

Sto cercando problemi NP-Hard per i grafici del genere> = k, dove k è una costante maggiore di g.

— Shiva Kintali,

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Questa è pubblicità del mio lavoro, ma il numero di incrocio e la 1-planarità sono banalmente risolvibili nei grafici planari ma difficili per i grafici del genere uno. Vedi http://arxiv.org/abs/1203.5944

— qualcuno
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"Un grafico è quasi planare se può essere ottenuto da un grafico planare aggiungendo un bordo. Un grafico è 1 piano se ha un disegno in cui ogni bordo è attraversato da al massimo un altro bordo. Mostriamo che è NP -hard per decidere se un dato grafico quasi planare è 1-planare. " Mi manca qualcosa. Perché ogni grafico quasi planare non è nemmeno 1-planare?

— Tyson Williams,

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Quello che penso che stai dicendo è che puoi semplicemente prendere un incorporamento planare di

e aggiungere nuovamente il bordo. Tuttavia, quel bordo in più potrebbe attraversare più di un bordo, violando la 1-planarità.

G - e

$G-e$

— Timothy Sun,

@TimothySun Sì. Ogni bordo diverso da

verrà attraversato al massimo una volta (da

), ma

potrebbe essere attraversato da più di un altro bordo, il che non è consentito. Grazie.

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— Tyson Williams,

4

Se i problemi con i giocattoli vanno bene:

Sia e sia un grafico del genere . Per una formula CNF, sia una codifica di come un grafico planare più una copia disgiunta di $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$ .

Dato , che è un grafico del genere , è NP-difficile decidere se è soddisfacente. Questo problema tuttavia diventa banale se limitato ai grafici del genere . $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Radu Curticapean
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qual è questo problema sui grafici del genere

\leq g

$\leq g$

— Sasho Nikolov il

1

Tutti i grafici

hanno il genere

. Pertanto, se si limita il problema ai grafici del genere

, è sempre possibile rifiutare.

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— Radu Curticapean,

ah, diventa davvero banale, vedo

— Sasho Nikolov,

2

EDIT (2012-09-05): i commenti di Jeff e Radu sono giusti. Il risultato citato non risponde alla domanda. Per espandere il commento di Radu, ecco un algoritmo correlato di Bravyi che fornisce un algoritmo per contrarre i tensori di matchgate su un grafico con genere con tempo di esecuzione dove è il numero minimo di spigoli che uno deve rimuovere da per renderlo planare. $G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Cai, Lu e Xia hanno recentemente dimostrato la seguente dicotomia per problemi di conteggio #CSP:

Dimostriamo teoremi di dicotomia di complessità nel quadro del conteggio dei problemi CSP. Le funzioni di vincolo locale accettano input booleani e possono essere funzioni simmetriche arbitrarie a valore reale. Dimostriamo che, ogni problema in questa classe appartiene esattamente a tre categorie:

(1) quelli che sono trattabili (cioè calcolabili nel tempo polinomiale) su grafici generali, o
(2) quelli che sono # P-duri su grafici generali ma trattabili su grafici planari , o
(3) quelli che sono # P-duri anche su grafici planari.

I criteri di classicizzazione sono espliciti.

— Martin Schwarz
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2

Questo non risponde alla domanda. La categoria (2) può essere suddivisa in (2a) trattabile per grafici planari ma # P-dura per grafici toroidali e (2b) trattabile per grafici di genere limitato ma # P-dura per grafici di genere illimitato?

— Jeffε

3

Il caso (2) consiste in problemi che possono essere ridotti al conteggio di corrispondenze perfette nei grafici planari introducendo gadget planari locali. È anche noto che gli abbinamenti perfetti possono essere contati in tempo polinomiale su grafici di genere limitato. Pertanto, tutti i problemi nel caso (2) sono effettivamente trattabili su grafici di genere limitato.

— Radu Curticapean,

2

Per ogni fisso , esiste un algoritmo del tempo polinomiale per determinare se un grafico ha il genere (al massimo) . Sia qualsiasi problema NP completo su grafici di genere maggiori di (ad esempio, 3-colorabilità). Per ogni fisso , il problema "Il grafico di input ha il genere al massimo o è in (o entrambi)?" è NP-completo per input generale ma ha un algoritmo a tempo polinomiale quando l'input è limitato ai grafici del genere al massimo . $g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

Questa idea può essere utilizzato molto in generale per la produzione di problemi che sono "duro" su grafici generali, ma "facile", a qualche classe di grafici, fintanto che è "facile" per determinare l'appartenenza a . $\mathcal C$ $\mathcal C$

— David Richerby
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