A cosa servono gli infiniti grafici?

Ho appena letto sulla Wikipedia tedesca che un grafico infinito è un grafico con un numero infinito di nodi o un numero infinito di bordi. Conosco solo applicazioni e algoritmi per grafici finiti.

A cosa servono gli infiniti grafici?

Quali sono le applicazioni di quelli? Non riesco a immaginare algoritmi che potrebbero funzionare su grafici infiniti, in quanto non è possibile memorizzare un grafico infinito. Quindi non puoi operarci.

Molti problemi di ricerca nell'intelligenza artificiale (come la ricerca dell'albero di una partita a scacchi o la ricerca di soluzioni a puzzle come il cubo di Rubik, o più in generale la ricerca di sequenze di azioni da eseguire per raggiungere l'obiettivo desiderato) sono, in effetto, algoritmi su grafici infiniti, anche se la risposta desiderata è un percorso finito. È certamente possibile eseguire algoritmi su tali grafici, se sono rappresentati implicitamente .

Ma è anche vero che la matematica può essere utile anche se non è la matematica dei problemi che può essere risolta dagli algoritmi. Grafici infiniti possono essere usati per modellare i processi di nascita e morte (ad es. In che modo le nostre regole per l'ereditarietà dei nomi e le velocità con cui le persone nascono e muoiono, portano a distribuzioni non uniformi di nomi di famiglia tra diverse culture umane?), Per dare un framework per l'approccio a domande su simmetrie matematiche (tramite grafici di Cayley , che sono spesso infiniti), per fornire modelli di ragionamento su sistemi di logica (vedi grafico Rado e modello saturo ), ecc.

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Da un lato della soglia, il modello Ising è difficile da approssimare. Dall'altro lato della soglia, il modello Ising è facile da approssimare. La complessità del modello Ising lungo la soglia di unicità è attualmente un problema aperto, ma la congettura è che è trattabile.

Il risultato più recente in questa linea di lavoro è di Sly an Sun. Vedi i loro riferimenti per altre opere correlate.

Per darti una particolare applicazione in cui è utile pensare a grafici infiniti, considera una rete di nodi distribuiti, ognuno dei quali esegue un algoritmo distribuito che procede in tondi. In ogni round un nodo può aggiornare il suo stato eseguendo il calcolo locale e comunicare inviando / ricevendo messaggi da / verso i suoi vicini. L'output di un tale algoritmo è l'output combinato di tutti i nodi. Ad esempio, ogni nodo può decidere localmente se fa parte di un set indipendente.

$\Omega(\log^* n)$

Ulteriori discussioni su questo punto sono disponibili qui .

i grafici universali sono infiniti e una generalizzazione del grafico casuale Rado menzionato da DE. una recente ricerca nell'area è nella direzione dell'identificazione di grafici universali per una famiglia di grafici F: vale a dire, un grafico infinito appartenente a F che contiene tutti i grafici finiti in F come sottografi indotti.