Incorporamento combinatorio di un grafico

Qui: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (nel capitolo incastonature) viene data la definizione di incorporazione combinatoria di un grafico planare. (con definizione di facce e così via) Sebbene possano essere facilmente utilizzati per qualsiasi grafico, definiscono il grafico planare come il grafico, per il quale vale la formula di Eulero (supponendo che il grafico sia collegato). È praticamente comprensibile che per ogni grafico piano la definizione di facce nell'incorporamento combinatorio sia simile alla definizione di facce nell'incorporamento topologico. (supponendo che il grafico sia collegato. Altrimenti nell'incorporamento combinatorio avremo una faccia infinita per ogni componente collegato)

La domanda è: se per un grafico collegato l'incorporamento combinatorio soddisfa la formula di Eulero, significa che questo grafico è planare in senso topologico (ha un incorporamento piano, cioè è un piano piano )?

Questo è molto meno sul grafico in sé e di più sulla topologia. Un incorporamento combinatorio definisce un 2-varietà, uno spazio topologico in cui ogni punto ha un quartiere omeomorfo su un disco aperto bidimensionale: l'incorporamento consente di definire una faccia e possiamo definire uno spazio topologico scegliendo un disco per ogni faccia e incollandoli insieme lungo i bordi del grafico. Un noto teorema di topologia (chiamato classificazione di 2-varietà) ci dice esattamente quali 2-varietà sono possibili e sono tutti distinguibili l'uno dall'altro se sono orientabili o se hanno la stessa caratteristica di Eulero (o entrambi ) - vedi http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfper alcune note di lezione ragionevoli su questo argomento, che includono la prova che stai chiedendo. Non ci sono altre 2 varietà in questa classificazione che hanno la stessa caratteristica di Eulero della sfera, quindi se si calcola la caratteristica di Eulero e si scopre che corrisponde alla formula per una sfera, si sa che l'incorporamento deve essere su una sfera.

Trovare un incorporamento con coordinate geometriche effettive nel piano, una volta che si ha un incorporamento planare combinatorio, non è del tutto banale ma può essere fatto ad esempio usando la teoria dei boschi di Schnyder. Ho alcuni appunti di lezione su http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ per esempio.