Approcci all'IG ispirati al problema del nodo

Problema GI e Knot entrambi sono problemi nel decidere l'equivalenza strutturale degli oggetti matematici. Ci sono risultati che stabiliscono connessioni tra di loro? Sono state esplorate belle connessioni del problema del nodo alla fisica statistica tramite i polinomi del nodo , ci sono risultati simili per ? $GI$

Sarebbe particolarmente utile sapere se ci sono risultati / avvertenze / suggerimenti / commenti standard prima di iniziare a esaminare motivato da un problema al nodo. In realtà, mi chiedevo se fosse consigliato esplorare in questa direzione per la tesi del mio maestro. Sono interessato ad approcci quantistici / classici a e problemi algebrici. Qualsiasi altro suggerimento è il benvenuto. $GI$ $GI$

— DurgaDatta
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dai grafici isomorfi di mathworld : "In un certo senso, l'isomorfismo dei grafi è facile nella pratica tranne che per una serie di grafici patologicamente difficili che sembrano causare tutti i problemi. Quindi, a differenza della teoria dei nodi, non ci sono mai state coppie significative di grafici per i quali l'isomorfismo era irrisolto ... Sfortunatamente, quasi certamente non esiste un invariante universale per il calcolo semplice, sia esso basato sullo spettro del grafico o su qualsiasi altro parametro di un grafico (Royle 2004). "

— vzn

Apparentemente l'equivalenza del nodo è anche facile nella pratica.

— Jeffε

Ho manifesto simile domanda qui physics.stackexchange.com/questions/39328/... anche

— DurgaDatta

Per quanto ne so, non ci sono nodi "patologicamente difficili" che causano tutti i problemi. Sarebbe molto interessante trovare una famiglia di nodi sconosciuti con tempi di esecuzione scadenti sui vari programmi di riconoscimento sconosciuto, sia in modo dimostrabile che sperimentale.

— Sam Nead,

Risposte:

Una connessione è che l'isomorfismo grafico e l'isomorfismo nodo sono entrambi casi speciali di omeomorfismo a 3 varietà. Nel caso del nodo, due nodi sono isomorfi se i loro complementi (varietà formate eliminando i punti del nodo dallo spazio 3) sono omeomorfi.

E nel caso del grafico è possibile trasformare i grafici in varietà in modo tale che i grafici siano isomorfi se e solo se le varietà sono omeomorfi. Ho scritto un commento su questo su un post di Google+ lo scorso dicembre, ma sfortunatamente non su un post che posso condividere. La costruzione deve iniziare con una varietà per ogni vertice v, nella forma del complemento in una 3 sfera di un mazzo di anelli di grado (v) (collegati insieme ad un vertice comune). Per ogni bordo uv, collegare i collettori per te v insieme da un intervento chirurgicoe collega un loop da te un loop da v attraverso la sfera chirurgica. Quindi ogni isomorfismo dei grafici si eleva in un omeomorfismo della varietà risultante (questo sarebbe vero anche se avessimo appena usato un intervento chirurgico su 3 sfere senza i mazzi) e i mazzi impedissero al collettore di avere omeomorfismi extra che non provengono dal grafico .

— David Eppstein
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la domanda più generale è la connessione tra la teoria dei nodi e la teoria dei grafi. come possibile punto di partenza c'è una connessione tra il polinomio di Jones (usato per classificare i nodi) e il polinomio di Tutti i grafici planari. cioè nella teoria dei nodi, il polinomio di Tutte appare come il polinomio di Jones di un nodo alternato. (quindi forse c'è qualche connessione tra la teoria dei nodi e la GI sui grafici planari.)

vedere thms 7,8 in:

Calcolo del polinomio di un grafico e del polinomio di Jones di un collegamento alternato di dimensioni moderate Sekine, Imai, Tani

THE JONES POLYNOMIAL E GRAFICI SULLE SUPERFICI OLIVER T. DASBACH, DAVID FUTER, EFSTRATIA KALFAGIANNI, XIAO-SONG LIN E NEAL W. STOLTZFUS

— VZN
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