Qual è la lunghezza prevista del percorso hamiltoniano più breve su punti selezionati casualmente da una griglia planare?

punti distinti vengono selezionati casualmente da unagriglia. (Ovviamenteed è un dato numero costante.) Un grafico completo ponderato è costruito da questipunti in modo tale che il peso del bordo tra il verticee il verticeuguale alla distanza di Manhattan di due vertici sulla griglia originale . $k$ $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

Sto cercando un modo efficiente per calcolare la lunghezza prevista del percorso hamiltoniano più breve (peso totale minimo) che passa attraverso questi nodi . Più precisamente, non sono desiderati i seguenti approcci ingenui: $k$

$\bullet$ Calcolo della lunghezza esatta del percorso per tutte le combinazioni di k nodi e derivazione della lunghezza prevista.

$\bullet$ Calcolo della lunghezza approssimativa del percorso per tutte le combinazioni di k nodi usando l'euristica di base dell'uso dell'albero di spanning minimo che dà un errore fino al 50%. (Una migliore euristica con meno errori può essere utile)

— Javad
fonte

Attualmente, non c'è speranza per un algoritmo efficiente poiché il problema del percorso Hamiltoniano non ponderato sulla griglia planare è NP-completo.

— Mohammad Al-Turkistany,

Quando parli del percorso hamiltoniano, stai pensando al percorso hamiltoniano con il peso minore (ovvero il problema del venditore ambulante)?

— a3nm,

@ MohammadAl-Turkistany la durezza di HAM PATH non è necessariamente un ostacolo, poiché l'OP è solo una stima per punti casuali.

— Suresh Venkat,

@ a3nm sì, e l'ho risolto.

— Suresh Venkat,

Cosa c'è di sbagliato nel calcolare la lunghezza esatta del tour per molti campioni casuali di

punti e nel trovare le aspettative e la deviazione standard? Quanto grande hai bisogno di essere

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— Peter Shor,

Supponendo che e siano abbastanza grandi, ci si aspetterebbe che la lunghezza prevista dipenda principalmente dalla densità, con un termine di correzione dipendente dal perimetro. Quindi, al primo ordine, sarebbe una funzione della seguente forma. $p$ $q$

L \approx (p q K)^{1 / 2} f (K / p q) + (p + q) g (K / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

Ora, è possibile utilizzare gli esperimenti sui problemi di piccole dimensioni per capire cosa e sono. Innanzitutto, per stimare , vuoi fare esperimenti su un campione senza un limite: il modo più semplice per farlo è usare una griglia con il lato sinistro collegato a destra e dall'alto verso il basso, formando un toro . Per stimare , puoi usare gli esperimenti su una griglia . $f$ $g$ $f$ $p\times p$ $g$ $p \times q$

Per la stima, è necessario risolvere (esattamente o approssimativamente) TSP relativamente grandi, poiché più grandi sono quelli utilizzati per la stima, migliori saranno i risultati. È possibile utilizzare l'euristica entro pochi percento o il codice TSP esatto. Vedi qui per una buona euristica. Il risolutore TSP Concorde di Bill Cook troverà l'esatto ottimale per casi ragionevolmente grandi (è il miglior codice TSP disponibile) e può essere utilizzato gratuitamente per la ricerca accademica.

— Peter Shor
fonte

Usando la terminologia di TSPLIB , stavo cercando SOP, non TSP. Moltiplicando

calcolato per TSP per

ottiene un limite superiore per SOP. Sfortunatamente, il solutore Concorde TSP non gestisce gli SOP e non sono riuscito a trovare alcun solutore SOP online.

E [L]

$E[L]$

(k - 1) / k

$(k-1)/k$

— Javad,

Immagino che per calcolare

, i casi che hanno

più grandi e

più piccoli sono equamente distribuiti attorno a

, quindi si potrebbe trovare un approccio costruttivo per trovare una disposizione di

punti nella griglia che (forse approssimativamente) dà

. Trovare tale accordo ovviamente ridurrebbe drasticamente il costo del calcolo.

E [L]

$E[L]$

L

$L$

L

$L$

E [L]

$E[L]$

k

$k$

E [L]

$E[L]$

— Javad

Inoltre non ho capito bene il motivo del coefficiente

. Perché non dovrebbe essere

? Come cambia questa formulazione di approssimazione per valori più piccoli di

k^{2}

$k^2$

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$

p

$p$

q

$q$

— Javad,

@Javad: bella domanda. Ho sbagliato, perché in qualche modo stavo pensando a

punti quando ho scritto la mia risposta. Il coefficiente deriva dal mio presupposto che la griglia

abbia bordi di lunghezza unitaria, quindi l'intera regione ha dimensione

. Il bordo medio dovrebbe essere di lunghezza

k^{2}

$k^2$

p \times q

$p\times q$

p \times q

$p \times q$

, e ci sono

bordi, quindi se vuoi che

rimanga approssimativamente costante, il primo termine dovrebbe essere

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$

k

$k$

f

$f$

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$

— Peter Shor,

Per

, la differenza tra la lunghezza TSP e la lunghezza SOP dovrebbe essere quasi trascurabile.

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$

— Peter Shor,