Numero di cicli hamiltoniani su grafici casuali

Partiamo dal presupposto che . Quindi è noto il fatto seguente: $G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

\begin{array}{rcl} P r [G has a Hamiltonian cycle] = {\begin{cases} 1 & (c (n) \to \infty) \\ 0 & (c (n) \to - \infty) \\ e^{- e^{- c}} & (c (n) \to c) \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$

Voglio sapere i risultati sul numero di cicli hamiltoniani su grafici casuali.

Q1. Quanti è il numero atteso di cicli hamiltoniani su ? $G(n,p)$

Q2. Qual è la probabilità per la probabilità di bordo su ? $Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$ $p$ $G(n,p)$

graph-theory co.combinatorics randomness

— Elely
fonte

Probabilmente puoi rispondere tu stesso a Q1. Suggerimento: linearità di aspettativa.

— Yuval Filmus,

$(n-1)!p^n$ $p$ $P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$ $n^2$ $p^2$ $(1-p^2)^{n^2}$ $e^{-(pn)^2}$ , che è piuttosto piccola.

— anonymous moose
fonte