Possiamo contare in profondità

Possiamo calcolare un cancello soglia bit per dimensione polinomiale (fan-in illimitato) circuiti di profondità lg $n$ ? In alternativa, possiamo contare il numero di 1s nei bit di ingresso usando questi circuiti?$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

È ?$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

Si noti che . Quindi la domanda chiede, in sostanza, se siamo in grado di salvare un lg lg n fattore nella profondità dei circuiti nel calcolo porte di soglia.$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

Modificare:

Come Kristoffer ha scritto nella sua risposta che possiamo salvare un fattore. Ma possiamo risparmiare un po 'di più? Possiamo sostituire O ( lg $\lg \lg n$cono(lg$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$?$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

Mi sembra che il trucco stratificato della forza bruta non funzioni per salvare anche (più in generale qualsiasi funzione in lg lg n + ω ( 1 ) ).$2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

Considerare un circuito fanin 2 di profondità O ( log n ) . Dividere gli strati di C in O ( log n / log log n ) blocchi ciascuno di log log n strati consecutivi. Vogliamo ora sostituire ogni blocco con un circuito di profondità 2. Vale a dire, ogni gate nell'ultimo strato di un blocco dipende al massimo da 2 log log n = log $C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$cancelli dell'ultimo strato nel blocco sottostante. Possiamo quindi sostituire ogni gate nell'ultimo strato con un DNF di dimensioni polinomiali con input che sono le porte nell'ultimo strato del blocco sottostante. In questo modo per tutte le porte negli ultimi strati per tutti i blocchi e il collegamento di questi dovrebbe produrre il circuito desiderato.

Vorrei sottolineare che questo è essenzialmente il migliore che si possa ottenere: il lemma di commutazione consente limiti inferiori fino al profondità n / registro di registro n .$\log n/ \log\log n$