Approssimabilità del problema di genere

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Cosa si sa attualmente sull'approssimabilità del problema del genere? Una ricerca preliminare mi dice che un'approssimazione di fattore costante è banale per grafici sufficientemente densi ed è stato escluso un algoritmo di approssimazione . Queste informazioni sono aggiornate o sono noti limiti migliori? $n^\epsilon$

cc.complexity-theory approximation-hardness topological-graph-theory

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I migliori risultati pubblicati compaiono tutti in un articolo del 1997 di Jianer Chen, Saroja P. Kanchi e Arkady Kanevsky.

Per qualsiasi fisso , calcolare il genere di un grafico con errore additivo è NP-hard. $\varepsilon>0$ $O(n^\varepsilon)$
Esiste un banale algoritmo a tempo lineare per incorporare qualsiasi grafico -vertex del genere (sconosciuto) su una superficie orientabile del genere : assegnare un ordine ciclico arbitrario ai bordi lasciando ogni vertice (mantenendo insieme anelli e bordi paralleli). In altre parole, quando il genere è grande, ogni incorporamento è una buona approssimazione del miglior incorporamento. $n$ $g$ $\max\{4g, g+4n\}$
Esiste un algoritmo di approssimazione del tempo polinomiale per i grafici di grado limitato. $O(\sqrt{n})$

È una questione aperta se esiste un algoritmo di approssimazione a fattore costante efficiente.

— Jeffε
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Non capisco come consegue da [Chen, Kanchi, Kanevsky '97] che calcolare il genere con l' approssimazione moltiplicativa di è NP-difficile. Ad esempio, calcolare il MAX CUT con un'approssimazione additiva è anch'esso NP-difficile, ma l'algoritmo di Goemans e Williamson fornisce 0,878 ... approssimazione.

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

— Yury l'

Sì hai ragione. Ho aggiornato la mia risposta alla luce della tua.

— Jeffε

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Volevo aggiungere alla risposta esaustiva di Jɛ ﬀ E che, per quanto ne so, non ci sono limiti inferiori al fattore di approssimazione per questo problema. Per quanto ne sappiamo, non ci può essere un algoritmo di approssimazione che sempre dà un fattore costante approssimazione (anche se il genere è molto piccolo).

Il documento Chen, Kanchi e Kanevsky [CKK '97] afferma solo che il calcolo del genere con errore additivo è NP-difficile. Ecco uno schema molto informale del loro argomento. Sarà chiaro che questo argomento non può essere usato per dimostrare un limite inferiore al fattore di approssimazione. Considera un grafico tale che NP sia difficile determinare se o (per alcuni ) ; esiste un tale grafico poiché il problema è NP-difficile. Lasciate è il numero di vertici in . Sia una grande costante. Prendi copie disgiunte del grafico $O(n^{1-\varepsilon})$ $G$ $\mathrm{genus}(G) \leq g^*$ $\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ $g^*$ $n$ $G$ $k$ $N = n^k$ $G$ e considera la loro unione. Quindi nel grafico ottenuto , NP è difficile determinare se o . Cioè, NP è difficile da calcolare con errore additivo , dove . Questa costruzione non ci dà alcun limite inferiore al fattore di approssimazione; il rapporto di a uguale al rapporto di a . $G'$ $\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$ $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$ $\mathrm{genus}(G')$ $N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$ $\varepsilon = 1/(k+1)$ $N(g^*+1)$ $Ng^*$ $g^*+1$ $g^*$

— Yury
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