Qual è la complessità dell'imballaggio rettangolare quando sono consentite le rotazioni?

Nel problema di imballaggio rettangolare, uno è dato un insieme di rettangoli e rettangolo . Il compito è trovare un posizionamento di all'interno di tale che nessuno degli rettangoli si sovrapponga. Generalmente, l'orientamento di ciascun rettangolo è fisso. Cioè, i rettangoli non possono essere ruotati. In questo caso, è noto che il problema è NP-completo (vedere, ad esempio, Korp 2003 ).$\{r_1,\dots,r_n\}$$R$$r_1,\ldots,r_n$$R$$n$$r_i$

Qual è la complessità del problema dell'imballaggio del rettangolo se i rettangoli possono essere ruotati di gradi?$90$

Intuitivamente, consentire le rotazioni dovrebbe solo rendere più difficile il problema poiché si dovrebbe prima scegliere un orientamento per ciascun rettangolo, quindi risolvere il problema dell'imballaggio senza rotazione. Ma la prova di durezza NP del caso di non rotazione è una riduzione dall'imballaggio del bidone e sembra dipendere in modo critico dall'orientamento fisso di ciascun rettangolo per costruire i cassonetti. Non sono stato in grado di trovare una corrispondente prova di durezza NP per il caso in cui sono consentite le rotazioni.

Possiamo ridurre il problema dell'imballaggio senza rotazioni al problema dell'imballaggio consentito dalle rotazioni come segue. Prendi qualsiasi istanza del problema di non rotazione. Verticalmente scalare l'intera istanza di due volte il rapporto tra la larghezza minima di ogni rettangolo r i divisa per l'altezza del contenitore rettangolare R . (Questo rapporto ha un numero polinomiale di bit, quindi la trasformazione può essere eseguita in tempo polinomiale.) Ogni rettangolo in scala r $(R, r_1, r_2, \dots, r_n)$$r_i$$R$ inserisce all'interno del contenitore in scala R ′ solo nel suo orientamento originale, quindi consentire le rotazioni non aggiunge nuove soluzioni.$r'\!\!_i$$R'$