Algoritmi dello spazio di log su grafici con larghezza dell'albero limitata

La larghezza dell'albero misura la vicinanza di un grafico a un albero. È NP-difficile calcolare la larghezza dell'albero. L' algoritmo di approssimazione più noto raggiunge fattore. $O(\sqrt{{\log}n})$

Il teorema di Courcelle afferma che qualsiasi proprietà dei grafici definibile nella logica monadica di secondo ordine (MSO2) può essere decisa in tempo lineare su qualsiasi classe di grafici con larghezza dell'albero limitata . Un recente articolo ha dimostrato che il teorema di Courcelle vale ancora quando "tempo lineare" è sostituito da "spazio di registro". Tuttavia, ciò non regola la complessità spaziale dell'isomorfismo dei grafi su grafici con larghezza dell'albero limitata. Il risultato più noto lo inserisce in LogCFL.

Ci sono altri problemi che sono:

NP-difficile (o non noto per essere in P) su grafici generali, e
noto per essere risolvibile in tempo lineare / polinomiale su grafici con larghezza dell'albero limitata e
NON è noto essere in LogSpace?

— Shiva Kintali
fonte

Qual è la

menzionata nel fattore di approssimazione?

n

$n$

— gphilip,

è il numero di vertici nel grafico di input.

n

$n$

— Shiva Kintali,

In generale, possiamo fare meglio di

approssimativo nella larghezza degli alberi. Il miglior algoritmo di approssimazione dei tempi polinomiali di cui sono a conoscenza ottiene una

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

fattore di approssimazione, dove

è la larghezza dell'albero del grafico. Vedi Feige, Hajiaghayi e Lee,algoritmi di approssimazione migliorati per i separatori di vertici di peso minimo, STOC 2005.

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

Tutte le polinomi sono un esempio.

Questa è una generalizzazione del polinomio cromatico , che di per sé è un problema difficile # P in qualsiasi formulazione ragionevole. Nel

Valutazione del polinomio di Tutte per i grafici della larghezza dell'albero rilegato , SD Noble, Combinatorics, Probability and Computing, 1998,

viene fornito un algoritmo temporale polinomiale in cui la complessità temporale è circa , dove è la larghezza dell'albero e è il numero di nodi. Qui è possibile vedere lavori correlati . Per un sondaggio, ci sono articoli su Arxiv , in cui il problema della complessità discusso nella sezione 8. $O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$

Sembra che il problema non possa essere espresso direttamente in MSO2, anche se non ho familiarità con le definizioni dettagliate ... Spero che questo problema sia quello di cui hai bisogno!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Qual è la funzione f?

— Michael Blondin,

Secondo il documento, è una funzione in

con ordine di

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Makowski afferma che "tutti i polinomi grafici studiati in letteratura sono definibili da SOL" e fornisce una formulazione di Tutto polinomiale in termini di SOL, pagina 15 di "Da uno zoo a una zoologia: verso una teoria generale dei polinomi grafici". In "Usi algoritmici del teorema di Feferman-Vaught" estende il teorema di Courcelle per mostrare la tracciabilità per i polinomi definibili SOL su grafici di larghezza dell'albero limitata.

— Yaroslav Bulatov,