La traccia traccia della differenza di due matrici di densità essendo una implica che queste due matrici di densità possono essere contemporaneamente diagonali?

Credo che la risposta a questa domanda sia ben nota; ma, sfortunatamente, non lo so.

Nell'informatica quantistica, sappiamo che gli stati misti sono rappresentati da matrici di densità. E la traccia traccia della differenza delle matrici a due densità caratterizza la distinguibilità dei due stati misti corrispondenti. Qui, la definizione di norma di traccia è la somma di tutti gli autovalori della matrice di densità, con un fattore moltiplicativo supplementare 1/2 (in accordo con la differenza statistica di due distribuzioni). È noto che, quando la differenza tra due matrici di densità è una, allora i due stati misti corrispondenti sono totalmente distinguibili, mentre quando la differenza è zero, i due stati misti sono totalmente indistinguibili.

La mia domanda è: la traccia traccia della differenza di due matrici di densità essendo una implica che queste due matrici di densità possono essere contemporaneamente diagonali? Se questo è il caso, quindi prendere la misura ottimale per distinguere questi due stati misti si comporterà come per distinguere due distribuzioni nello stesso dominio con supporto disgiunto .

quantum-computing quantum-information

— Jeremy Yan
fonte

Potresti definire cos'è una matrice di densità? è solo una matrice definita positiva?

— Suresh Venkat,

@Suresh: una matrice di densità è una matrice semidefinita eremita positiva la cui traccia è uguale a 1.

— Tsuyoshi Ito

La risposta alla domanda è sì, poiché la distanza di traccia 1 indica che le matrici a due densità hanno supporti ortogonali.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: forse dovresti scrivere quel commento come risposta?

— Robin Kothari,

@Robin: certo, fatto.

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

Ecco un modo per dimostrare il fatto che ti interessa.

$\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Per trarre questa conclusione, nota prima che e , quindi . Quindi, prendi e come proiezioni ortogonali sulle immagini di e , rispettivamente. Abbiamo so Entrambi e $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ deve essere contenuto nell'intervallo [0,1], dal quale concludiamo che e . Da queste equazioni non è difficile concludere e , e quindi con l'equazione sopra. Un argomento simile mostra .

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— John Watrous
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Grazie, Prof. Watrous. In realtà, imparo tutte queste cose sulle matrici della norma di traccia e della densità dai tuoi appunti.

— Jeremy Yan,

Vorrei aggiungere che tutti gli argomenti discussi in questo post possono essere trovati negli appunti on-line del Professor Watours (lezione 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— Jeremy Yan,

Sì. Se la distanza di traccia delle matrici di due densità è uguale a 1, allora hanno supporti ortogonali e quindi sono contemporaneamente diagonali.

— Tsuyoshi Ito
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Immagino che la risposta sia sì, ma non conosco la prova.

— Jeremy Yan,

L'idea principale della dimostrazione che stabilisce due matrici di densità è totalmente distinguibile quando la distanza di traccia è una, è in diagonale la differenza delle due matrici di densità; ma come dimostrare la stessa base diagonalizza le due stesse matrici di densità? Forse queste matrici a due densità non sono diagonali rispetto a questa base, ma la loro differenza è. Qualcuno può dare qualche idea di prova, o dare alcuni riferimenti alla prova? Grazie.

— Jeremy Yan,