I risultati che mostrano l'esistenza / non esistenza di grafici finiti con proprietà calcolabili specifiche implicano determinati risultati di complessità

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Esistono risultati noti che dimostrano che l'esistenza (o la non esistenza) di grafici finiti con proprietà calcolabili specifiche implica determinati risultati di complessità (come P = NP)?

Ecco un risultato completamente ipotetico : se esiste un grafico finito con bordi distinti A, B, C e D in modo tale che tutti gli abbinamenti massimi contengano tutti A, B, C e D o non contengano nessuno di A, B, C e D , quindi P = NP.

cc.complexity-theory

— Ajay
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quando dici finito, forse intendi una famiglia di grafici per diversi valori di ? Altrimenti non capisco come un ostacolo di dimensioni finite possa far crollare P e NP.

n

$n$

— Suresh Venkat,

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È una domanda ancora più interessante se chiediamo di un singolo grafico. Nessuno viene in mente in un'impostazione grafica, ma una dimostrazione di P = NP sarebbe essa stessa un oggetto finito.

— Anand Kulkarni,

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Se la domanda viene interpretata alla lettera, la risposta è banalmente sì. Poiché esiste una corrispondenza individuale calcolabile in modo efficiente tra grafici e stringhe di bit, è possibile codificare una prova (in qualsiasi sistema assiomatico fisso) da un grafico anziché da una stringa di bit. Se esiste un grafico che codifica una dimostrazione di P = NP, allora P = NP (purché il sistema assiomatico in questione sia valido). Tuttavia, questa risposta è senza senso.

— Tsuyoshi Ito,

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Concordato su entrambi; quello che stiamo cercando è un esempio naturale piuttosto che uno ottenuto con codifiche artificiali. Esiste un singolo grafico la cui esistenza è nota per mostrare naturalmente o è stata utilizzata per mostrare una separazione / collasso di classe? Alcuni luoghi da guardare potrebbero essere nelle applicazioni della teoria dei grafi spettrali o del metodo probabilistico, o forse persino della GCT.

— Anand Kulkarni,

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Un altro risultato ipotetico: se esiste un certo tipo di famiglia di grafici dell'espansore, è possibile una forte derandomizzazione, e quindi P = BPP e NP = MA = AM.

— Robin Kothari,

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Un risultato di questo tipo è stato dimostrato da Lipton "Dimostrando che un grafico non ha grosse cricche: una connessione con la teoria di Ramsey" . Collega congetture con limite inferiore con risultati teorici puramente grafici, dimostrando che se non è contenuto in , allora l'inapproossimabilità di implica che ci sono grafici con ordinate proprietà teoriche di Ramsey. (Vedi l'articolo per le definizioni.) Non ho idea se sono stati fatti progressi nel dimostrare se tali grafici esistano o meno. $NP$ $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$ $MAX-CLIQUE$

— Ryan Williams
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Non voglio fare un'altra domanda mentre questo è ancora in corso, ma sarei molto interessato a risultati aggiuntivi che collegano la teoria dei grafici di Ramsey alla complessità computazionale, se qualcuno ne è a conoscenza.

— Aaron Sterling,

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Un posto dove iniziare a cercare: cs.umd.edu/~gasarch/ramsey

— Ryan Williams

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Scusa, mi sono imbattuto in questa domanda di 1 anno solo ora ...

In effetti, ci sono molti risultati che mostrano che i grafici espliciti con alcune proprietà implicano forti limiti inferiori per le funzioni booleane. Ad esempio, i grafici di alta dimensione affine o proiettiva implicano forti limiti inferiori per formule e programmi di ramificazione. Esistono anche misure "più semplici" dei grafici, buoni limiti inferiori sui quali avrebbero grandi conseguenze sulla complessità computazionale. Permettetemi di abbozzarne alcuni.

Visualizza i grafici come gruppi di spigoli. Sia il numero più piccolo modo che possa essere scritto come un'intersezione di grafici di , ognuno dei quali è un'unione di bicliques (grafici completi bipartiti). Il conteggio semplice mostra che per quasi tutti i grafici bipartiti. Ma dai risultati di Valiant, ogni grafico bipartito esplicito (più precisamente, una sequenza di grafici) con per una costante $s(G)$ $s$ $G$ $\leq s$ $\leq s$ $s(G)\geq n^{1/2}$ $n\times n$ $G$ $s(G)\geq n^c$ $c>0$ risolverebbe un vecchio problema: darebbe una funzione booleana che non può essere calcolata da un circuito di profondità di registro di dimensioni lineari. Si ipotizza che i grafici densi senza abbiano grandi . $K_{2,2}$ $s(G)$

Ancora meglio, lascia che sia il numero più piccolo di operazioni di unione e intersezione fanin- sufficienti per generare iniziando con stelle complete (grafici del tipo o ). Il conteggio mostra che la maggior parte dei grafici ha . Ma qualsiasi con per una costante darebbe una funzione booleana esplicita che richiede circuiti di dimensioni esponenziali! Se il grafico ha dimensione con , anche una limite inferiore $Star(G)$ $2$ $G$ $K_{1,n}$ $K_{n,1}$ $Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$ $G$ $Star(G)\geq (4+c)n$ $c>0$ $m\times n$ $m=o(n)$ $Star(G)\geq (2+c)n$ avrebbe le stesse conseguenze. Il meglio che possiamo mostrare finora è . $Star(G)\geq 2n-1$

Sia il numero più piccolo per cui esiste un sottoinsieme e una sequenza di bicliques tale che se il numero di bicliques contenente appartiene a . Ancora una volta, il conteggio fornisce per la maggior parte dei grafici. Ma dai risultati di Yao, Beigel e Tarui qualsiasi grafico esplicito con maggiore di ci darebbe una funzione booleana al di fuori di . Attenzione: essere "complicatori combinatori" da soli non implica un grande $Sym(G)$ $t$ $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ $t$ $(u,v)\in G$ $(u,v)$ $T$ $Sym(G)\geq n/2$ $Sym(G)$ $2^{poly(\ln\ln n)}$ $ACC$ $Sym(G)$ : esistono forti grafici di Ramsey per i quali , anche se = set di numeri dispari. $Sym(G)=O(\log n)$ $T$

Maggiori dettagli su come tutto ciò accade possono essere trovati qui .

— Stasys
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questo è molto pulito.

— Suresh Venkat,

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$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ $O(n)$ $O(\log n)$ profondità - qualcosa che siamo ancora lontani dal provare) sotto le ipotesi che alcuni tipi di grafici, chiamati superconcentratori, non esistano. (Questa era una domanda asintotica, e non riguardava solo un grafico.) Tuttavia, in seguito ha dimostrato che esistono (e in effetti hanno altri usi)

— Boaz Barak
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La risposta è sicuramente "sì" se parliamo di famiglie di grafici, piuttosto che di grafici specifici. Ad esempio, c'è una congettura di Mihail e Vazirani secondo cui tutti i grafici poltopalici 0/1 sono espansori di bordi buoni o molto buoni (cioè che la loro espansione dei bordi è limitata da 1 / polinomiale (gradi) o 1).

Se questo è vero, allora esistono efficienti algoritmi randomizzati di approssimazione della catena di Markov Monte Carlo per un certo numero di problemi combinatori e di conteggio aperti tramite una strategia di campionamento di Alon, Jerrum e Sinclair.

Allo stesso modo, se esistono famiglie di grafi polipropali il cui diametro cresce più rapidamente di qualsiasi polinomio nel numero di sfaccettature e gradi dei grafi, allora la programmazione lineare non può essere risolta in tempi fortemente polinomiali tramite algoritmi che seguono il bordo.

— Anand Kulkarni
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Espandendo il commento di Anand Kulkarni:

Supponiamo che esista una macchina di Turing deterministica M che riconosce SAT in tempo polinomiale. Quindi la relazione di transizione finita di M sarà una funzione. Conosciamo TM che riconoscono SAT in tempi polinomiali, ma le loro relazioni di transizione non sono funzioni. Si noti che la relazione di transizione è un grafico diretto bipartito con tuple di (stato, simbolo del nastro) in una bipartizione, tuple di (stato, simbolo del nastro, mossa) nell'altra bipartizione e archi da coppie a triple.

Quindi banalmente se esiste un tale digrafo che è una funzione, allora P = NP.

Naturalmente, questa non è una definizione molto naturale, in quanto richiede un meccanismo ausiliario per dare un significato al requisito secondo cui ogni percorso nello spazio di stato che raggiunge lo stato di accettazione è delimitato da un polinomio nella dimensione di input. Non è affatto ovvio che aspetto abbia l'insieme di grafici finiti che rappresentano le macchine di Turing limitate dal tempo polifunzionale, o se questi grafici abbiano interessanti proprietà teoriche dei grafi.

— András Salamon
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