Esistono classi di funzioni che richiedono risorse notevolmente diverse per calcolare rispetto al calcolo del loro contrario?

Ci scusiamo in anticipo se questa domanda è troppo semplice.

Fondamentalmente, quello che voglio sapere è se ci sono funzioni con le seguenti proprietà:$f(x)$

Prendi come quando il dominio e il codomain sono limitati alle stringhe -bit. Poi$f_n(x)$$f(x)$$n$

1. $f_n(x)$ è iniettivo
2. $f_n(x)$ è suriettivo
3. $f_n(x)$ richiede rigorosamente meno risorse (spazio / tempo / profondità del circuito / numero di porte) per calcolare secondo un modello ragionevole di$f^{-1}_n(y)$ , dove$y=f_n(x)$ .
4. La differenza di risorsa per $f_n(x)$ vs $f^{-1}(y)$ ridimensionata come una funzione strettamente crescente di $n$ .

Posso fornire esempi in cui la funzione è suriettiva o iniettiva, ma non entrambe, a meno che non ricorra a un modello computazionale inventato. Se scelgo un modello computazionale che consente gli spostamenti a sinistra in unità di tempo su qualche anello, ma non gli spostamenti a destra, è ovviamente possibile trovare un overhead lineare (o superiore se si considera una permutazione più complicata come una primitiva) . Per questo motivo sono interessato solo a modelli ragionevoli, con cui intendo principalmente macchine di Turing o circuiti NAND o simili.

Ovviamente questo deve essere vero se $P\neq NP$ , ma sembrerebbe che ciò sia possibile anche se $P=NP$ , e quindi non dovrebbe equivalere a decidere quella domanda.

È del tutto possibile che questa domanda abbia una risposta ovvia o un evidente ostacolo alla risposta che mi sono perso.

Mi è stato chiesto di ripubblicare il mio commento. Ho sottolineato questo articolo di Hastad, che mostra che esistono delle permutazioni in che sono difficili da invertire in P:$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)

Per i circuiti booleani su base binaria completa (con la misura della complessità al numero di porte in un circuito minimo) il rapporto più noto per le permutazioni C ( f - 1$C(f)$. Per quanto ne so, la migliore costante è stata ottenuta inquesto lavoroda Hiltgen ed è uguale a 2.$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

Modificare. Se vuoi che il rapporto aumenti quando cresce, questo non risponde alla tua domanda. Tuttavia, per i circuiti booleani su base binaria completa non si sa nulla di meglio.$n$

Prima di tutto, volevo sottolineare che la suriettività non è ben definita senza prima definire il codice della funzione. Quindi, nella mia descrizione che segue, farò esplicitamente riferimento al codice su cui la funzione è suriettiva.

Sia il logaritmo discreto o RSA funzioni sono permutazioni che sono conjectured essere difficile invertito. Di seguito, descriverò la funzione logaritmo discreto.

Sia un numero primo a n bit e g sia un generatore del gruppo moltiplicativo Z ∗ p n . Definisci f n : Z p n → Z p n come f n ( x ) = g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$ .$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

Quindi, è una funzione le cui proprietà sono come indicato nella tua domanda: è sia iniettiva che suriettiva (su codomain Z p n ), è calcolabile in tempo polinomiale, ma si ipotizza che nessun algoritmo efficiente possa invertire f n on media.$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$