Algoritmi e teoria della complessità strutturale

Molti risultati importanti nella teoria della complessità computazionale, e in particolare nella teoria della complessità "strutturale", hanno l'interessante proprietà che possono essere intesi come fondamentalmente seguiti (come la vedo io ...) dai risultati algoritmici che forniscono un algoritmo efficiente o un protocollo di comunicazione per alcuni problema. Questi includono i seguenti:

IP = PSPACE deriva da un algoritmo ricorsivo a ingombro ridotto che simula i protocolli interattivi e un protocollo interattivo efficiente per la valutazione di formule booleane totalmente quantificate. In effetti qualsiasi uguaglianza di classe di complessità A = B può essere vista come segue da due algoritmi efficienti (un algoritmo per problemi in A che è efficiente rispetto a B e viceversa).
Dimostrare la completezza NP di alcuni problemi sta semplicemente trovando un algoritmo efficiente per ridurre un problema NP completo.
L'ingrediente (probabilmente!) Cruciale nel Teorema della Gerarchia del tempo è un'efficace simulazione universale delle macchine di Turing.
Il recente risultato di Ryan Williams che ACC $\not \supset$ NEXP si basa su un algoritmo efficiente per risolvere la soddisfazione dei circuiti per i circuiti ACC.
Il teorema PCP è che un'amplificazione efficiente del gap è possibile per problemi di soddisfazione dei vincoli.
ecc. ecc.

La mia domanda (che forse è irrimediabilmente vaga!) È la seguente: Esistono risultati importanti nella teoria della complessità strutturale (distinti dai "meta-risultati" come la barriera di relativizzazione) che non sono noti per avere una naturale interpretazione in termini di efficienza algoritmi (o protocolli di comunicazione)?

cc.complexity-theory structural-complexity

— Ashley Montanaro
fonte

I sorta di speranza la risposta è "no", perché penso che la complessità sia veramente comprendere la potenza degli algoritmi! Stavo per dire che PARITY non si qualifica quasi in , ma ora non la penso così. Puoi vedere Switching Lemma come un algoritmo randomizzato che ti consente di scambiare due file di un circuito senza un ingrandimento di grandi dimensioni (e può anche essere derandomizzato ( eccc.hpi-web.de/report/2012/116 ).

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow,

AshleyMontanaro: Forse la teoria della complessità è collegata "per definizione" all'efficienza (tempo / spazio) degli algoritmi. Non appena ti allontani dall'efficienza, trovi risultati fondamentali come l'indecidibilità del problema di arresto, ma non sei più nel dominio della "complessità". Tuttavia, cercando di dare una risposta parziale, penso che la caratterizzazione logica delle classi di complessità sia un risultato importante che offre una prospettiva diversa non (direttamente) legata agli "algoritmi".

— Marzio De Biasi,

In particolare, avrei elencato la caratterizzazione descrittiva di NP in termini di logica esistenziale del secondo ordine. Si tratta puramente di potere espressivo e non principalmente di algoritmi. Tuttavia, il teorema di Courcelle suggerisce che questa distinzione non è reale.

— Suresh Venkat,

Diresti che la prova di Razborov-Smolensky di PARITY non in AC0 contiene al suo interno un risultato algoritmico? E che dire dei limiti inferiori della complessità della query, come quello che dice che un computer quantistico non può risolvere il problema di ricerca non ordinata nelle query ?

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— Robin Kothari,

vedi anche cstheory.stackexchange.com/questions/3229/…

— sdcvvc,

Per molti limiti inferiori nella complessità algebrica, non conosco un'interpretazione naturale in termini di algoritmi efficienti. Per esempio:

la tecnica dei derivati parziali di Nisan e Wigderson
la tecnica del grado di Assia di Mignon e Ressayre (che dà il limite inferiore attualmente più noto al permanente rispetto al determinante)
il limite di grado di Strassen (e Baur-Strassen)
la tecnica dei componenti collegati di Ben-Or.

In tutti i risultati di cui sopra, sembrano davvero utilizzare una proprietà delle funzioni coinvolte, laddove quella stessa proprietà non sembra correlata all'esistenza di alcun algoritmo particolare (per non parlare di uno efficace).

Per risultati non algebrici, ecco un paio di pensieri:

L'argomento di conteggio standard per il limite inferiore di ordinamento non sembra avere un'interpretazione in termini di algoritmi efficienti. Tuttavia, esiste una versione contraddittoria di questo limite inferiore [1], in cui esiste un algoritmo che, dato qualsiasi albero decisionale che utilizza troppi confronti, costruisce in modo efficiente un elenco che l'albero decisionale ordina in modo errato. Ma la versione contraddittoria, sebbene non difficile, è significativamente più difficile della prova di conteggio. (Si noti che questo è un po 'più forte di quello che si ottiene applicando la tecnica del limite inferiore dell'avversario, ad esempio come in queste note , poiché in [1] l'avversario stesso è efficiente .) $n \log n$
Penso di aver cambiato idea su PARITY non in (anche la prova originale, per non parlare della prova Razborov-Smolensky, come sottolineato da @RobinKothari). Sebbene Switching Lemma possa essere visto come un algoritmo randomizzato ( o deterministico ) che ti consente di scambiare due file di un circuito senza un grande scoppio di dimensioni, penso che questo abbia davvero un sapore diverso rispetto a molti risultati in complessità, e in particolare il quelli che citi. Ad esempio, la prova di Williams che si basa fondamentalmente sull'esistenza di un buon algoritmo per un problema particolare. Al contrario, se si potesse provare qualcosa di simile al Lemma di commutazione in modo non costruttivo, sarebbe altrettanto utile per dimostrare PARITÀ non in . $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

A causa di questi ultimi due esempi - in particolare l'ordinamento, in cui la dimostrazione standard non è costruttiva - mi sembra che la domanda potrebbe non riguardare solo interpretazioni naturali in termini di algoritmi efficienti, ma anche in qualche modo sulla costruttività / efficacia delle prove di vari risultati di complessità (a seconda di ciò che l'OP aveva in mente). Ossia, il limite inferiore di ordinamento standard non è costruttivo o algoritmico, ma esiste una prova costruttiva e algoritmica dello stesso risultato.

[1] Atallah, MJ e Kosaraju, SR Un limite inferiore basato sull'avversario per l'ordinamento . Far sapere. Proc. Lett. 13 (2): 55-57, 1981.

— Joshua Grochow
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